トップ› 九州大学› 2020年› 理系第2問

九州大学 2020年理系第2問解説

方針・初手

(1) 与えられた複素数が解であることを利用し、その複素数を解にもつ2次方程式を作成する。実数係数多項式であることから、この2次式で $f(x)$ が割り切れる条件を考える。 (2) (1) の結果を用いて $f(1), f(-1)$ を $a, b$ の式で表し、与えられた合同式の条件を処理する。連立合同式を解いて $a, b$ を決定し、残りの解を求める。

解法1

(1)

$x = \frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ とおくと、$2x - 1 = \sqrt{3}i$ となる。

両辺を2乗して整理する。

$$ (2x - 1)^2 = (\sqrt{3}i)^2 $$

$$ 4x^2 - 4x + 1 = -3 $$

$$ 4x^2 - 4x + 4 = 0 $$

$$ x^2 - x + 1 = 0 $$

$f(x)$ は実数係数の多項式であるから、$f\left(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right) = 0$ を満たすとき、$f(x)$ は $x^2 - x + 1$ で割り切れる。

実際に $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ を $x^2 - x + 1$ で割ると、商は $x^2 + (a+1)x + (a+b)$ となり、余りは $(b+c-1)x + (d-a-b)$ となる。

割り切れるためには、余りがすべての $x$ について $0$ となる必要がある。

$$ (b+c-1)x + (d-a-b) = 0 $$

$a, b, c, d$ は実数であるから、係数比較により以下の連立方程式が成り立つ。

$$ \begin{cases} b+c-1 = 0 \\ d-a-b = 0 \end{cases} $$

これを $c, d$ について解くと、次を得る。

$$ c = 1 - b, \quad d = a + b $$

(2)

(1) の結果より、$f(x)$ は以下のように表せる。

$$ f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + (1-b)x + (a+b) $$

これに $x=1, x=-1$ を代入して整理する。

$$ f(1) = 1 + a + b + (1-b) + a + b = 2a + b + 2 $$

$$ f(-1) = 1 - a + b - (1-b) + a + b = 3b $$

与えられた条件を合同式（法を $7, 11$）で表す。

$f(-1)$ に関する条件から処理する。

$$ 3b \equiv 3 \pmod 7 $$

$$ 3b \equiv 10 \pmod{11} $$

上の式から、$b \equiv 1 \pmod 7$ が得られる。すなわち、整数 $k$ を用いて $b = 7k + 1$ と表せる。

これを下の式に代入する。

$$ 3(7k + 1) \equiv 10 \pmod{11} $$

$$ 21k + 3 \equiv 10 \pmod{11} $$

$$ -k \equiv 7 \pmod{11} $$

$$ k \equiv 4 \pmod{11} $$

したがって、整数 $m$ を用いて $k = 11m + 4$ と表せる。これを $b$ に代入する。

$$ b = 7(11m + 4) + 1 = 77m + 29 $$

条件より $|b| \le 40$ であるから、$m = 0$ であり、$b = 29$ と定まる。

次に、$f(1)$ に関する条件を処理する。$b=29$ を用いると $f(1) = 2a + 31$ となる。

$$ 2a + 31 \equiv 1 \pmod 7 $$

$$ 2a + 31 \equiv 10 \pmod{11} $$

上の式を整理する。

$$ 2a \equiv -30 \equiv -2 \pmod 7 $$

$$ a \equiv -1 \equiv 6 \pmod 7 $$

下の式を整理する。

$$ 2a \equiv -21 \equiv 1 \pmod{11} $$

$$ 2a \equiv 12 \pmod{11} $$

$$ a \equiv 6 \pmod{11} $$

$a$ は $7$ で割っても $11$ で割っても $6$ 余る数であるから、$a \equiv 6 \pmod{77}$ である。条件より $|a| \le 40$ であるから、$a = 6$ と定まる。

以上より、$a = 6, b = 29$ となり、(1) で求めた商に代入すると、$x^2 + (6+1)x + (6+29) = x^2 + 7x + 35$ となる。

方程式 $f(x) = 0$ は次のように因数分解される。

$$ (x^2 - x + 1)(x^2 + 7x + 35) = 0 $$

これを解くと、$x^2 - x + 1 = 0$ より $x = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$、$x^2 + 7x + 35 = 0$ より $x = \frac{-7 \pm \sqrt{91}i}{2}$ を得る。

解説

(1) は「実数係数多項式が虚数解をもつならば、その共役複素数も解にもつ」という性質を利用して、2次式での割り算に持ち込む典型問題である。 (2) は連立合同式の処理が問われている。中国剰余定理の背景知識があると見通しが良くなる。条件式の形から、式が簡潔になる $f(-1)$ から先に決定していくのが定石である。最後に係数の絶対値の範囲が絞り込みの決め手となる。