九州大学 2018年 理系 第4問 解説

方針・初手

• $a, b$ が3の倍数でないという条件から、$a^2 \equiv 1 \pmod 3, b^2 \equiv 1 \pmod 3$ が導かれることを活用する。
• 整数解や有理数解の候補を絞り込むために、定数項と最高次係数の約数に着目する（有理数根定理の考え方）。
• (1) の結果を (2) の証明にどう活かすかを意識する。

解法1

(1)

整数 $a, b$ は3の倍数ではないため、$a \equiv \pm 1 \pmod 3$、$b \equiv \pm 1 \pmod 3$ である。 よって、それぞれの2乗を3で割った余りは

$$a^2 \equiv 1 \pmod 3, \quad b^2 \equiv 1 \pmod 3$$

となる。 これらを用いて $f(1), f(2)$ を3で割った余りを考える。

$$f(1) = 2(1)^3 + a^2(1)^2 + 2b^2(1) + 1 = a^2 + 2b^2 + 3$$

合同式を用いると、

$$f(1) \equiv 1 + 2 \cdot 1 + 3 = 6 \equiv 0 \pmod 3$$

したがって、$f(1)$ を3で割った余りは $0$ である。

また、$f(2)$ については、

$$f(2) = 2(2)^3 + a^2(2)^2 + 2b^2(2) + 1 = 4a^2 + 4b^2 + 17$$

合同式を用いると、

$$f(2) \equiv 4 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + 17 = 25 \equiv 1 \pmod 3$$

したがって、$f(2)$ を3で割った余りは $1$ である。

(2)

整数 $x$ が $f(x) = 0$ を満たすと仮定する。方程式を変形すると

$$x(2x^2 + a^2 x + 2b^2) = -1$$

となる。$x$ および $2x^2 + a^2 x + 2b^2$ はともに整数であるため、$x$ は $-1$ の約数でなければならない。 よって、$x = 1$ または $x = -1$ のいずれかである。

(i) $x = 1$ のとき

$f(1) = a^2 + 2b^2 + 3$ であるが、$a, b$ は実数であるから $a^2 \ge 0, b^2 \ge 0$ より $f(1) \ge 3 > 0$ となり、$f(1) = 0$ に矛盾する。

(ii) $x = -1$ のとき

$-1 \equiv 2 \pmod 3$ であるから、合同式の性質より

$$f(-1) \equiv f(2) \pmod 3$$

が成り立つ。(1) の結果より $f(2) \equiv 1 \pmod 3$ であるから、

$$f(-1) \equiv 1 \pmod 3$$

となる。しかし、$f(-1) = 0$ と仮定すれば $f(-1) \equiv 0 \pmod 3$ とならなければならず、矛盾する。

以上より、$f(x) = 0$ を満たす整数 $x$ は存在しない。

(3)

$f(x) = 0$ が有理数解をもつとする。その解を $x = \frac{q}{p}$ （$p, q$ は互いに素な整数、$p \ge 1$）とおく。 これを方程式に代入すると、

$$2\left(\frac{q}{p}\right)^3 + a^2\left(\frac{q}{p}\right)^2 + 2b^2\left(\frac{q}{p}\right) + 1 = 0$$

両辺に $p^3$ をかけると、

$$2q^3 + a^2pq^2 + 2b^2p^2q + p^3 = 0$$

これを $p$ について整理すると、

$$p(a^2q^2 + 2b^2pq + p^2) = -2q^3$$

$p, q$ は互いに素であるから、$p$ は $2$ の約数である。よって $p = 1, 2$。 また、$q$ について整理すると、

$$q(2q^2 + a^2pq + 2b^2p^2) = -p^3$$

$p, q$ は互いに素であるから、$q$ は $-1$ の約数である。よって $q = \pm 1$。 したがって、有理数解の候補は $x = \pm 1, \pm \frac{1}{2}$ となる。

(2) より $x = \pm 1$ は解ではないため、$x = \frac{1}{2}$ または $x = -\frac{1}{2}$ のいずれかである。

(ア) $x = \frac{1}{2}$ のとき

方程式に代入すると、

$$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} + \frac{a^2}{4} + b^2 + 1 = 0$$

両辺を4倍して整理すると

$$a^2 + 4b^2 + 5 = 0$$

$a, b$ は実数より $a^2 + 4b^2 + 5 \ge 5 > 0$ となり、これを満たす実数の組 $(a, b)$ は存在しない。

(イ) $x = -\frac{1}{2}$ のとき

方程式に代入すると、

$$f\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4} + \frac{a^2}{4} - b^2 + 1 = 0$$

両辺を4倍して整理すると

$$a^2 - 4b^2 + 3 = 0$$

$$(a - 2b)(a + 2b) = -3$$

$a, b$ は整数であるから、$a - 2b$ と $a + 2b$ も整数であり、その積が $-3$ となる組は以下の4通りである。

$$(a - 2b, a + 2b) = (1, -3), (-1, 3), (3, -1), (-3, 1)$$

それぞれの場合について $a, b$ を求める。

• $(a - 2b, a + 2b) = (1, -3)$ のとき、辺々加えて $2a = -2$ より $a = -1$。辺々引いて $4b = -4$ より $b = -1$。
• $(a - 2b, a + 2b) = (-1, 3)$ のとき、辺々加えて $2a = 2$ より $a = 1$。辺々引いて $4b = 4$ より $b = 1$。
• $(a - 2b, a + 2b) = (3, -1)$ のとき、辺々加えて $2a = 2$ より $a = 1$。辺々引いて $4b = -4$ より $b = -1$。
• $(a - 2b, a + 2b) = (-3, 1)$ のとき、辺々加えて $2a = -2$ より $a = -1$。辺々引いて $4b = 4$ より $b = 1$。

得られた $(a, b) = (-1, -1), (1, 1), (1, -1), (-1, 1)$ はいずれも「$a, b$ が3の倍数ではない」という条件を満たす。

解法2

(2) の別解

整数解の候補が $x = \pm 1$ に限られること、および $x = 1$ が不適であることは解法1と同様である。

$x = -1$ のとき、方程式に代入すると

$$f(-1) = -2 + a^2 - 2b^2 + 1 = a^2 - 2b^2 - 1 = 0$$

すなわち $a^2 - 2b^2 = 1$ となる。 ここで、$a, b$ は3の倍数ではないため、$a^2 \equiv 1 \pmod 3, b^2 \equiv 1 \pmod 3$ である。 左辺を3で割った余りを考えると、

$$a^2 - 2b^2 \equiv 1 - 2 \cdot 1 = -1 \equiv 2 \pmod 3$$

となる。しかし右辺は $1 \pmod 3$ であるため、矛盾が生じる。 したがって、$f(x) = 0$ を満たす整数 $x$ は存在しない。

解説

• 方程式が有理数解 $\frac{q}{p}$ をもつとき、$p$ は最高次係数の約数、$q$ は定数項の約数になるという「有理数根定理」の考え方が重要になる問題である。
• (2) では、(1) で求めた合同式の結果を利用することで、$x = -1$ の不適を簡潔に示すことができる（解法1）。または、直接代入して得られる $a^2 - 2b^2 = 1$ の両辺の余りを比較して矛盾を導く手法も自然である（解法2）。
• (3) では、解の候補を $\pm \frac{1}{2}$ に絞り込んだ後、整数問題の定石である「$(式) \times (式) = (整数)$」の形に帰着させて解を求める。

答え

(1) $f(1)$ を3で割った余りは $0$、$f(2)$ を3で割った余りは $1$ (2) $f(x)=0$ を変形して整数解の候補を $x=\pm 1$ に絞り込み、$x=1$ のときは $f(1)>0$、$x=-1$ のときは合同式等の評価によって不適となることを示した。（詳細は解法を参照） (3) $(a, b) = (1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1)$