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九州大学 2020年文系第3問解説

方針・初手

(1) $x = \frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ を変形して、この数を解に持つ実数係数の2次方程式を作成する。整式 $f(x)$ が実数係数であることから、割り算の性質や次数下げを用いて $a, b$ を $c$ で表す。
(2) (1) の結果を用いて $f(1), f(-1)$ を $c$ の式で表し、与えられた剰余の条件から合同方程式を立てる。$c$ の絶対値の条件から $c$ の値を特定し、$f(x)=0$ を解く。

解法1

(1)

$x = \frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ とおくと、$2x - 1 = \sqrt{3}i$ である。両辺を2乗すると、

$$ (2x - 1)^2 = -3 $$

整理すると、

$$ 4x^2 - 4x + 4 = 0 \iff x^2 - x + 1 = 0 $$

整式 $f(x)$ を $x^2 - x + 1$ で割る。

$$ \begin{aligned} f(x) &= x^3 + ax^2 + bx + c \\ &= (x^2 - x + 1)(x + a + 1) + (a + b)x + c - a - 1 \end{aligned} $$

$x = \frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ は $x^2 - x + 1 = 0$ の解であり、かつ $f\left(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right) = 0$ であるから、剰余について以下が成り立つ。

$$ (a + b)\left(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right) + c - a - 1 = 0 $$

整理すると、

$$ \frac{a + b}{2} + c - a - 1 + \frac{\sqrt{3}(a + b)}{2}i = 0 $$

$a, b, c$ は整数（実数）であるから、実部と虚部はそれぞれ $0$ となる。

$$ \begin{cases} \frac{a + b}{2} + c - a - 1 = 0 \\ \frac{\sqrt{3}(a + b)}{2} = 0 \end{cases} $$

第2式より $a + b = 0$ であり、$b = -a$ である。これを第1式に代入すると、

$$ 0 + c - a - 1 = 0 \iff a = c - 1 $$

したがって、$b = -(c - 1) = -c + 1$ となる。以上より、

$$ a = c - 1, \quad b = -c + 1 $$

(2)

(1) の結果より、

$$ f(x) = x^3 + (c - 1)x^2 + (-c + 1)x + c $$

条件より $f(1)$ を $7$ で割ると $4$ 余るので、$f(1) \equiv 4 \pmod 7$ である。

$$ f(1) = 1 + (c - 1) + (-c + 1) + c = c + 1 $$

よって、$c + 1 \equiv 4 \pmod 7$ より、$c \equiv 3 \pmod 7$ である。したがって、$c = 7k + 3$ （$k$ は整数）とおける。

また、条件より $f(-1)$ を $11$ で割ると $2$ 余るので、$f(-1) \equiv 2 \pmod{11}$ である。

$$ f(-1) = -1 + (c - 1) - (-c + 1) + c = 3c - 3 $$

よって、$3c - 3 \equiv 2 \pmod{11}$ より、$3c \equiv 5 \pmod{11}$ である。ここに $c = 7k + 3$ を代入する。

$$ \begin{aligned} 3(7k + 3) &\equiv 5 \pmod{11} \\ 21k + 9 &\equiv 5 \pmod{11} \\ -k &\equiv -4 \pmod{11} \\ k &\equiv 4 \pmod{11} \end{aligned} $$

したがって、$k = 11m + 4$ （$m$ は整数）とおける。これを $c = 7k + 3$ に代入すると、

$$ c = 7(11m + 4) + 3 = 77m + 31 $$

$|c| \le 40$ であるから、

$$ -40 \le 77m + 31 \le 40 $$

$$ -71 \le 77m \le 9 $$

これを満たす整数 $m$ は $m = 0$ のみである。このとき、$c = 31$ となる。

(1) の割り算の式において、$a = c - 1$ より $a + 1 = c$ であるから、$f(x)$ は次のように因数分解される。

$$ f(x) = (x^2 - x + 1)(x + c) = (x^2 - x + 1)(x + 31) $$

方程式 $f(x) = 0$ の解は、$x^2 - x + 1 = 0$ または $x + 31 = 0$ の解である。 $x^2 - x + 1 = 0$ の解は $x = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$ である。 $x + 31 = 0$ の解は $x = -31$ である。

したがって、求める解は $x = -31, \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$ である。

解法2

(1) の別解

$x = \frac{1+\sqrt{3}i}{2} = \alpha$ とおく。 $\alpha$ は $x^2 - x + 1 = 0$ の解であるため、$\alpha^2 - \alpha + 1 = 0$ を満たし、$\alpha^2 = \alpha - 1$ である。また、両辺に $\alpha$ を掛けると $\alpha^3 = \alpha^2 - \alpha = -1$ となる。 $f(\alpha) = 0$ に代入すると、

$$ \begin{aligned} f(\alpha) &= \alpha^3 + a\alpha^2 + b\alpha + c \\ &= -1 + a(\alpha - 1) + b\alpha + c \\ &= (a + b)\alpha - a + c - 1 \\ &= 0 \end{aligned} $$

ここで、$\alpha = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ は虚数であり、$a, b, c$ は実数である。実数 $A, B$ について $A\alpha + B = 0$ が成り立つならば、仮に $A \neq 0$ とすると $\alpha = - \frac{B}{A}$ となり、$\alpha$ が実数であることに矛盾するため、$A = 0$ かつ $B = 0$ である。したがって、

$$ \begin{cases} a + b = 0 \\ -a + c - 1 = 0 \end{cases} $$

これを解いて、$a = c - 1, b = -c + 1$ となる。

解説

(1) では、与えられた複素数を解に持つ実数係数の2次方程式を作り、整式の割り算に帰着させる手法（解法1）と、高次式を2次以下の式に次数下げして複素数の相等を用いる手法（解法2）の2つの定石がある。どちらも汎用性が高いため習得しておきたい。
(2) は一次合同方程式の典型問題である。2つの条件から文字をおき、一方の条件をもう一方の式に代入して絞り込む手順をとることで確実に解くことができる。