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九州大学 1993年理系第1問解説

方針・初手

(1) は放物線の焦点を通る直線の式を設定し、放物線の式と連立して交点を求める。交点の中点の座標を解と係数の関係を用いて表し、媒介変数を消去して軌跡の方程式を導く。

(2) は (1) の結果を利用する。放物線を一般化した $y^2 = 4p_n(x - a_n)$ とおき、次の放物線 $P_{n+1}$ の頂点と焦点距離の漸化式を立てて一般項を求める。

解法1

(1)

放物線 $y^2 = 4px$ （$p > 0$）の焦点は $F(p, 0)$ である。焦点 $F$ を通る直線が $x$ 軸（$y = 0$）と一致するとき、放物線との交点は原点 $(0,0)$ のみとなり線分ができない。したがって、この直線は $x$ 軸ではない。ゆえに、焦点 $F$ を通る直線の方程式を、実数 $t$ を用いて $x = ty + p$ とおける。

これを放物線の式に代入する。

$$y^2 = 4p(ty + p)$$

$$y^2 - 4pty - 4p^2 = 0$$

この $y$ についての2次方程式の判別式を $D$ とすると、$p > 0$ より

$$\frac{D}{4} = (-2pt)^2 - 1 \cdot (-4p^2) = 4p^2(t^2 + 1) > 0$$

となり、常に異なる2つの実数解をもつ。これらの解を $y_1, y_2$ とし、対応する交点を $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ とする。線分 $AB$ の中点を $M(X, Y)$ とおくと、$Y = \frac{y_1 + y_2}{2}$ である。解と係数の関係より $y_1 + y_2 = 4pt$ であるから、

$$Y = \frac{4pt}{2} = 2pt$$

よって、$t = \frac{Y}{2p}$ となる。また、点 $M$ は直線 $x = ty + p$ 上にあるため、

$$X = tY + p = \frac{Y}{2p} \cdot Y + p = \frac{Y^2}{2p} + p$$

これを整理すると、

$$Y^2 = 2p(X - p)$$

以上より、求める放物線の式は

$$y^2 = 2p(x - p)$$

この式は $y^2 = 4 \cdot \frac{p}{2} (x - p)$ と変形できる。頂点が $(p, 0)$、焦点から頂点までの距離が $\frac{p}{2}$ であるから、その焦点の座標は $\left(p + \frac{p}{2}, 0\right)$ すなわち $\left(\frac{3}{2}p, 0\right)$ である。

(2)

放物線 $P_n$ の方程式を $y^2 = 4p_n(x - a_n)$ とおく。（$p_n > 0$）この放物線の頂点は $(a_n, 0)$ であり、焦点を原点とする座標系に平行移動すると $y^2 = 4p_nx$ となる。 (1) の結果から、この放物線に対して同様の操作を行って得られる放物線は $y^2 = 2p_n(x - p_n)$、すなわち $y^2 = 4 \cdot \frac{p_n}{2} (x - p_n)$ となる。これを元の位置に平行移動して戻すと、放物線 $P_{n+1}$ の方程式は

$$y^2 = 4 \cdot \frac{p_n}{2} (x - p_n - a_n)$$

これと $P_{n+1} : y^2 = 4p_{n+1}(x - a_{n+1})$ の係数および定数項を比較して、次の漸化式を得る。

$$\begin{cases} p_{n+1} = \frac{1}{2} p_n \\ a_{n+1} = a_n + p_n \end{cases}$$

$P_0$ は $y^2 = 4x$ であり、$y^2 = 4 \cdot 1 \cdot (x - 0)$ と表せるため、$p_0 = 1, a_0 = 0$ である。第1式の漸化式より、数列 $\{p_n\}$ は初項 $1$、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列であるから、

$$p_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{2^n}$$

これを第2式の漸化式に代入すると $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{2^n}$ となり、数列 $\{a_n\}$ の階差数列が求まる。 $n \geqq 1$ のとき、

$$\begin{aligned} a_n &= a_0 + \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{2^k} \\ &= 0 + \frac{1 \cdot \left\{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right\}}{1 - \frac{1}{2}} \\ &= 2\left(1 - \frac{1}{2^n}\right) \end{aligned}$$

これは $n = 0$ のときも $a_0 = 2(1 - 1) = 0$ となり成り立つ。したがって、放物線 $P_n$ の式は

$$y^2 = \frac{4}{2^n} \left\{x - 2\left(1 - \frac{1}{2^n}\right)\right\}$$

整理して、

$$y^2 = \frac{1}{2^{n-2}} \left(x - 2 + \frac{1}{2^{n-1}}\right)$$

また、放物線 $P_n$ の焦点の $x$ 座標は $a_n + p_n$ であるから、

$$a_n + p_n = 2\left(1 - \frac{1}{2^n}\right) + \frac{1}{2^n} = 2 - \frac{1}{2^n}$$

よって、焦点の座標は $\left(2 - \frac{1}{2^n}, 0\right)$ である。 $n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{2^n} \to 0$ となるから、

$$\lim_{n \to \infty} \left(2 - \frac{1}{2^n}\right) = 2$$

ゆえに、放物線 $P_n$ の焦点は点 $(2, 0)$ に近づく。

解説

放物線の弦の中点の軌跡を求める典型的な問題である。直線の方程式を設定する際、傾き $m$ を用いて $y = m(x-p)$ とおくと $y$ 軸に垂直な直線を表現できない。今回のように放物線の軸が $x$ 軸である場合は、$x = ty + p$ とおくことで例外の処理を減らすことができる。また、(2) では (1) の結果を利用し、放物線の基本形 $y^2 = 4p(x-a)$ のパラメータ $p, a$ に関する漸化式に帰着させるのがポイントである。軌跡を毎回計算し直すのではなく、相似変換と平行移動の観点から規則性を見抜くことが重要である。