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九州大学 1993年文系第3問解説

方針・初手

与えられた導関数の関係式と初期条件から、各関数を積分によって具体的に求めることから始める。

(1) については、$f(t)$、$g(t)$ を $t$ の式として求めた後、$x = f(t)$、$y = g(t)$ とおいて媒介変数 $t$ を消去し、$x, y$ の関係式を導く。その際、$t$ の変域 $0 \leqq t \leqq c$ から定まる $x$ の定義域に注意する。

(2) についても同様に、$c \leqq t$ における関数 $h(t), k(t)$ を求める。点 $(h(t), k(t))$ の軌跡が原点を通るということは、ある実数 $t \geqq c$ に対して $h(t) = 0$ かつ $k(t) = 0$ が成り立つということである。この条件から $c$ についての方程式を立てて解く。

解法1

(1)

条件 $f'(t) = -1$ より、両辺を $t$ で積分すると、積分定数を $C_1$ として

$$f(t) = -t + C_1$$

となる。$f(0) = 2$ であるから $C_1 = 2$ となり、

$$f(t) = -t + 2$$

次に、$g'(t) = f(t) = -t + 2$ より、両辺を $t$ で積分すると、積分定数を $C_2$ として

$$g(t) = -\frac{1}{2}t^2 + 2t + C_2$$

となる。$g(0) = 7$ であるから $C_2 = 7$ となり、

$$g(t) = -\frac{1}{2}t^2 + 2t + 7$$

点 $(f(t), g(t))$ の軌跡を求めるため、$x = f(t)$、$y = g(t)$ とおく。

$$x = -t + 2$$

より $t = 2 - x$ となる。これを $y = g(t)$ に代入して $t$ を消去する。

$$\begin{aligned} y &= -\frac{1}{2}(2 - x)^2 + 2(2 - x) + 7 \\ &= -\frac{1}{2}(x^2 - 4x + 4) - 2x + 11 \\ &= -\frac{1}{2}x^2 + 2x - 2 - 2x + 11 \\ &= -\frac{1}{2}x^2 + 9 \end{aligned}$$

また、$t$ の変域は $0 \leqq t \leqq c$ であるから、

$$0 \leqq 2 - x \leqq c$$

これを $x$ について解くと、

$$2 - c \leqq x \leqq 2$$

以上より、求める軌跡は放物線 $y = -\frac{1}{2}x^2 + 9$ の $2 - c \leqq x \leqq 2$ の部分である。

(2)

(1) の結果より、$f(c) = -c + 2$、$g(c) = -\frac{1}{2}c^2 + 2c + 7$ である。

条件 $h'(t) = 1$ より、積分定数を $C_3$ として

$$h(t) = t + C_3$$

となる。$h(c) = f(c)$ であるから、

$$c + C_3 = -c + 2$$

より $C_3 = -2c + 2$ となり、

$$h(t) = t - 2c + 2$$

次に、$k'(t) = h(t) = t - 2c + 2$ より、積分定数を $C_4$ として

$$k(t) = \frac{1}{2}t^2 + (-2c + 2)t + C_4$$

となる。$k(c) = g(c)$ であるから、

$$\frac{1}{2}c^2 + (-2c + 2)c + C_4 = -\frac{1}{2}c^2 + 2c + 7$$

これを整理して $C_4$ を求める。

$$\begin{aligned} \frac{1}{2}c^2 - 2c^2 + 2c + C_4 &= -\frac{1}{2}c^2 + 2c + 7 \\ -\frac{3}{2}c^2 + 2c + C_4 &= -\frac{1}{2}c^2 + 2c + 7 \\ C_4 &= c^2 + 7 \end{aligned}$$

したがって、

$$k(t) = \frac{1}{2}t^2 - 2(c - 1)t + c^2 + 7$$

点 $(h(t), k(t))$ の軌跡が原点を通るということは、ある実数 $t \geqq c$ に対して $h(t) = 0$ かつ $k(t) = 0$ となることである。

$h(t) = 0$ より、

$$t - 2c + 2 = 0$$

よって $t = 2c - 2$ となる。これが $t \geqq c$ を満たす条件は、

$$2c - 2 \geqq c$$

すなわち $c \geqq 2$ である。この $t = 2c - 2$ を $k(t) = 0$ に代入する。

$$\begin{aligned} \frac{1}{2}(2c - 2)^2 - 2(c - 1)(2c - 2) + c^2 + 7 &= 0 \\ 2(c - 1)^2 - 4(c - 1)^2 + c^2 + 7 &= 0 \\ -2(c - 1)^2 + c^2 + 7 &= 0 \\ -2(c^2 - 2c + 1) + c^2 + 7 &= 0 \\ -2c^2 + 4c - 2 + c^2 + 7 &= 0 \\ -c^2 + 4c + 5 &= 0 \\ c^2 - 4c - 5 &= 0 \\ (c - 5)(c + 1) &= 0 \end{aligned}$$

$c$ は $c \geqq 2$ を満たす実数であるため、$c = 5$ となる。（これは問題文の「$c$ を正の定数とする」という条件も満たす）

解説

導関数の関係式が連鎖的に与えられているが、落ち着いて上から順に積分し、関数を決定していく平易な微積分と軌跡の問題である。

(1) では、媒介変数 $t$ を消去して $x, y$ の方程式を求める際、$t$ の定義域 $0 \leqq t \leqq c$ から $x$ の変域を正確に求めることが重要である。

(2) では、単に $h(t)=0, k(t)=0$ を解くだけでなく、$h(t), k(t)$ が定義されているのが $t \geqq c$ においてであることに注意しなければならない。$h(t)=0$ から求めた $t$ の値が $t \geqq c$ を満たすかどうか（今回は $c \geqq 2$ という条件に帰着する）の確認を怠ると、不適な解 $c=-1$ を排除する根拠が薄弱になり減点対象となる。