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九州大学 1998年理系第2問解説

方針・初手

円周を12等分する点を頂点とする三角形は、選んだ3点によって円周を3つの弧に分割する。この3つの弧の長さ（等分された1単位の弧がいくつ分か）の組合せに注目する。弧の長さを $a, b, c$ とおくと、$a, b, c$ は自然数であり、$a+b+c=12$ を満たす。正三角形、二等辺三角形、直角三角形、図形の合同といった幾何学的な条件を、この $a, b, c$ の方程式の条件に翻訳して考えるのが定石である。

解法1

(1)

正三角形になるのは、3つの弧の長さがすべて等しいときである。すなわち、$a=b=c=4$ の場合である。ある頂点を1つ固定すると、正三角形を作る残りの2点は一意に定まる。頂点の選び方は12通りあるが、1つの正三角形につき頂点は3つあるため、それぞれの正三角形の頂点を始点として3回ずつ重複して数えることになる。よって、正三角形の選び方の総数は

$$\frac{12}{3} = 4 \text{（通り）}$$

(2)

二等辺三角形になるのは、$a, b, c$ のうち少なくとも2つが等しいときである。 3つの頂点から成る三角形において、長さが等しい2つの辺に挟まれた頂点を「頂角の頂点」と呼ぶことにする。頂角の頂点を1つ固定したとき、残りの2点の選び方を考える。頂角から左右に伸びる弧の長さを $k$ とすると、もう1つの弧の長さは $12-2k$ となる。 $k$ と $12-2k$ は自然数であるから、$k \geqq 1$ かつ $12-2k \geqq 1$ より、$1 \leqq k \leqq 5$ となる。すなわち、1つの頂点に対して、$k=1, 2, 3, 4, 5$ の5通りの二等辺三角形が存在する。

このうち、$k=4$ のときは3つの弧の長さが $4, 4, 4$ となり、正三角形となる。正三角形の場合、どの頂点も頂角とみなせるため、頂角の頂点を固定して数え上げると、同じ三角形を3回重複して数えてしまう。一方、$k \neq 4$ のとき（4通り）は正三角形ではない二等辺三角形であり、頂角として選べる頂点は1つだけであるため、重複なく数えられる。

頂角の頂点の選び方は12通りあるので、正三角形でない二等辺三角形の個数は

$$12 \times 4 = 48 \text{（通り）}$$

これに (1) で求めた正三角形の個数を加えて、二等辺三角形の総数は

$$48 + 4 = 52 \text{（通り）}$$

(3)

円に内接する三角形が直角三角形になるための必要十分条件は、三角形のある1辺が外接円の直径となることである。円周を12等分する点から2点を選んで作られる直径は、向かい合う点（$A$ と $G$ など）を結んだ線分であり、全部で $\frac{12}{2} = 6$ 本ある。この1本の直径（直角三角形の斜辺）に対して、直角の頂点となる残りの1点の選び方は、直径の両端以外の点を選べばよいので、$12 - 2 = 10$ 通りある。よって、直角三角形の選び方の総数は

$$6 \times 10 = 60 \text{（通り）}$$

(4)

3点を選んで得られる三角形が互いに合同であることは、3つの弧の長さの組 $\{a, b, c\}$ が一致することと同値である。したがって、互いに合同でない三角形の総数は、$a+b+c=12$ を満たす自然数 $a, b, c$ の組のうち、順序を区別しないものの個数に等しい。重複を防ぐため、$a \leqq b \leqq c$ となるように $a, b, c$ の組を数え上げる。

$a=1$ のとき、$b+c=11$ であり、$(b, c) = (1, 10), (2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6)$ の5通り。

$a=2$ のとき、$b+c=10$ であり、$2 \leqq b$ に注意すると、$(b, c) = (2, 8), (3, 7), (4, 6), (5, 5)$ の4通り。

$a=3$ のとき、$b+c=9$ であり、$3 \leqq b$ に注意すると、$(b, c) = (3, 6), (4, 5)$ の2通り。

$a=4$ のとき、$b+c=8$ であり、$4 \leqq b$ に注意すると、$(b, c) = (4, 4)$ の1通り。

$a \geqq 5$ のときは、$a+b+c \geqq 5+5+5=15$ となり、$a+b+c=12$ を満たさない。

したがって、互いに合同でない三角形の数は

$$5 + 4 + 2 + 1 = 12 \text{（個）}$$