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九州大学 2002年理系第8問解説

方針・初手

関数 $g(x)$ を具体的に計算し、$g(x) - \sqrt[3]{a}$ の分子を $x - \sqrt[3]{a}$ でくくりだす方針をとります。計算を簡潔にするため、$b = \sqrt[3]{a}$ とおいて $b$ についての多項式として処理すると見通しが良くなります。

解法1

(1)

$b = \sqrt[3]{a}$ とおくと、$a = b^3$ である。与えられた関数 $f(x)$ とその導関数 $f'(x)$ は、

$$\begin{aligned} f(x) &= x^p - b^3 x^{p-3} \\ f'(x) &= px^{p-1} - b^3(p-3)x^{p-4} \end{aligned}$$

と表される。これらを $g(x)$ の定義式に代入する。

$$\begin{aligned} g(x) &= x - \frac{x^p - b^3 x^{p-3}}{px^{p-1} - b^3(p-3)x^{p-4}} \\ &= x - \frac{x^{p-3}(x^3 - b^3)}{x^{p-4}\{px^3 - b^3(p-3)\}} \\ &= x - \frac{x(x^3 - b^3)}{px^3 - b^3(p-3)} \\ &= \frac{x\{px^3 - b^3(p-3)\} - x(x^3 - b^3)}{px^3 - b^3(p-3)} \\ &= \frac{(p-1)x^4 - b^3(p-4)x}{px^3 - b^3(p-3)} \end{aligned}$$

したがって、$g(x) - \sqrt[3]{a}$ すなわち $g(x) - b$ は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} g(x) - b &= \frac{(p-1)x^4 - b^3(p-4)x}{px^3 - b^3(p-3)} - b \\ &= \frac{(p-1)x^4 - b^3(p-4)x - b\{px^3 - b^3(p-3)\}}{px^3 - b^3(p-3)} \\ &= \frac{(p-1)x^4 - pbx^3 - (p-4)b^3x + (p-3)b^4}{px^3 - b^3(p-3)} \end{aligned}$$

ここで、分子の多項式を $P(x) = (p-1)x^4 - pbx^3 - (p-4)b^3x + (p-3)b^4$ とおく。これが $(x-b)^2$ すなわち $x^2 - 2bx + b^2$ を因数にもつか調べるため、$x^2 - 2bx + b^2$ で割り算を行う。

$$\begin{aligned} P(x) &= (p-1)x^2(x^2 - 2bx + b^2) + 2(p-1)bx^3 - (p-1)b^2x^2 - pbx^3 - (p-4)b^3x + (p-3)b^4 \\ &= (p-1)x^2(x-b)^2 + (p-2)bx^3 - (p-1)b^2x^2 - (p-4)b^3x + (p-3)b^4 \\ &= (p-1)x^2(x-b)^2 + (p-2)bx(x^2 - 2bx + b^2) + 2(p-2)b^2x^2 - (p-2)b^3x - (p-1)b^2x^2 - (p-4)b^3x + (p-3)b^4 \\ &= \{(p-1)x^2 + (p-2)bx\}(x-b)^2 + (p-3)b^2x^2 - 2(p-3)b^3x + (p-3)b^4 \\ &= \{(p-1)x^2 + (p-2)bx\}(x-b)^2 + (p-3)b^2(x^2 - 2bx + b^2) \\ &= \{(p-1)x^2 + (p-2)bx + (p-3)b^2\}(x-b)^2 \end{aligned}$$

このように割り切れるため、

$$g(x) - b = (x-b)^2 \times \frac{(p-1)x^2 + (p-2)bx + (p-3)b^2}{px^3 - (p-3)b^3}$$

となる。$b = \sqrt[3]{a}$ を元に戻すと、

$$g(x) - \sqrt[3]{a} = (x - \sqrt[3]{a})^2 \times \frac{(p-1)x^2 + (p-2)\sqrt[3]{a}x + (p-3)(\sqrt[3]{a})^2}{px^3 - a(p-3)}$$

となり、分母は $x$ の 3 次式、分子は $x$ の 2 次式であるから、与えられた形で表されることが示された。

(2)

(1) で得られた等式に $p=2$ を代入する。右辺の分数部分は以下のようになる。

$$\frac{x^2 + 0 \cdot \sqrt[3]{a}x - (\sqrt[3]{a})^2}{2x^3 - a(-1)} = \frac{x^2 - (\sqrt[3]{a})^2}{2x^3 + a} = \frac{(x - \sqrt[3]{a})(x + \sqrt[3]{a})}{2x^3 + a}$$

これを (1) の結果に代入すると、

$$\begin{aligned} g(x) - \sqrt[3]{a} &= (x - \sqrt[3]{a})^2 \times \frac{(x - \sqrt[3]{a})(x + \sqrt[3]{a})}{2x^3 + a} \\ &= (x - \sqrt[3]{a})^3 \times \frac{x + \sqrt[3]{a}}{2x^3 + a} \end{aligned}$$

となり、分母は $x$ の 3 次式、分子は $x$ の 1 次式であるから、与えられた形で表されることが示された。

(3)

$a=9, p=2$ のとき、(2) の結果より、

$$g(x) - \sqrt[3]{9} = (x - \sqrt[3]{9})^3 \times \frac{x + \sqrt[3]{9}}{2x^3 + 9}$$

が成り立つ。ここで $x=2$ を代入して符号を反転させると、

$$\sqrt[3]{9} - g(2) = (\sqrt[3]{9} - 2)^3 \times \frac{\sqrt[3]{9} + 2}{2 \cdot 2^3 + 9} = (\sqrt[3]{9} - 2)^3 \times \frac{\sqrt[3]{9} + 2}{25}$$

となる。問題の条件 $2 < \sqrt[3]{9} < 2.1$ より、

$$0 < \sqrt[3]{9} - 2 < 0.1 = \frac{1}{10}$$

$$4 < \sqrt[3]{9} + 2 < 4.1$$

である。これらを上の式に適用すると、$(\sqrt[3]{9} - 2)^3 > 0$ かつ $\frac{\sqrt[3]{9} + 2}{25} > 0$ であるから、$\sqrt[3]{9} - g(2) > 0$ が成り立つ。さらに上限については、

$$\sqrt[3]{9} - g(2) < \left(\frac{1}{10}\right)^3 \times \frac{4.1}{25} = \frac{1}{1000} \times \frac{4.1}{25}$$

となる。$\frac{4.1}{25} = 0.164 < 1$ であるから、

$$\sqrt[3]{9} - g(2) < \frac{1}{1000}$$

が成り立つ。以上より、不等式

$$0 < \sqrt[3]{9} - g(2) < \frac{1}{1000}$$

が示された。

次に $\sqrt[3]{9}$ を小数第 3 位まで求める。上で示した不等式を変形すると、

$$g(2) < \sqrt[3]{9} < g(2) + 0.001$$

となる。ここで $g(2)$ の値を求める。(1) の途中で求めた $g(x)$ の式に $b^3=a=9, p=2$ を代入すると、

$$g(x) = \frac{x^4 + 18x}{2x^3 + 9}$$

であるから、

$$g(2) = \frac{16 + 36}{16 + 9} = \frac{52}{25} = 2.08$$

となる。これを不等式に代入すると、

$$2.08 < \sqrt[3]{9} < 2.081$$

すなわち、$\sqrt[3]{9} = 2.080...$ となることがわかる。したがって、$\sqrt[3]{9}$ の小数第 4 位以下を切り捨てた値は $2.080$ である。

解説

方程式 $f(x)=0$ の近似解を求める「ニュートン法」を背景とした問題です。通常は $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ の漸化式を用いて解を近似していきます。

本問の (2) において、誤差 $g(x) - \sqrt[3]{a}$ が $(x - \sqrt[3]{a})^3$ に比例することが示されました。これは、真の値との誤差が 1 回の操作で約 3 乗に縮小されることを意味しており、非常に収束が速い（3 次収束する）近似式であることを表しています。(3) の計算からも、初期値 $x=2$ を 1 回代入しただけで、すでに小数第 3 位まで正確な値が得られていることが実感できます。

代数計算の工夫として、(1) で $\sqrt[3]{a}$ をそのまま持ち歩くと記述が煩雑になるため、文字で置き換えて多項式の割り算に帰着させるのがセオリーです。