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九州大学 2020年理系第5問解説

方針・初手

与えられた立体 $T$ を空間座標上の不等式で表し、平面 $x=t$ による切り口を考える。$x$ 軸まわりの回転体については、断面内の各点から $x$ 軸までの距離の最小値と最大値を調べ、切り口が回転してできる円環状の図形の面積を積分する。

解法1

円柱 $E$ は底面が $x^2+(y-2)^2 \leqq 1, z=0$ であり、高さが $3$ であるから、以下の不等式で表される。

$$ E: x^2+(y-2)^2 \leqq 1, \quad 0 \leqq z \leqq 3 $$

$x$ 軸（直線 $y=0, z=0$）と点 $(0, 2, 2)$ を含む平面を $\alpha$ とする。$\alpha$ は原点 $(0,0,0)$、$(1,0,0)$、$(0,2,2)$ を通るから、その方程式は $z=y$ である。 $\alpha$ で分けられた $E$ のうち、底面 $D$（$z=0$ かつ $1 \leqq y \leqq 3$）を含む側が $T$ である。$D$ 上の点は $z \leqq y$ を満たすため、$T$ の領域は以下のように表せる。

$$ T: x^2+(y-2)^2 \leqq 1, \quad 0 \leqq z \leqq y $$

（なお、$y \leqq 3$ より $z \leqq y \leqq 3$ となるため、$z \leqq 3$ の条件は常に満たされる。）

(1)

$T$ を平面 $x=t$ ($-1 \leqq t \leqq 1$) で切った断面を $D_t$ とする。$x=t$ を代入して整理すると、

$$ (y-2)^2 \leqq 1-t^2, \quad 0 \leqq z \leqq y $$

これを解くと、

$$ 2-\sqrt{1-t^2} \leqq y \leqq 2+\sqrt{1-t^2}, \quad 0 \leqq z \leqq y $$

この断面 $D_t$ は $yz$ 平面と平行な平面上の領域であり、その面積 $S(t)$ は $y$ についての定積分で求められる。

$$ \begin{aligned} S(t) &= \int_{2-\sqrt{1-t^2}}^{2+\sqrt{1-t^2}} y \, dy \\ &= \left[ \frac{1}{2}y^2 \right]_{2-\sqrt{1-t^2}}^{2+\sqrt{1-t^2}} \\ &= \frac{1}{2} \left\{ \left( 2+\sqrt{1-t^2} \right)^2 - \left( 2-\sqrt{1-t^2} \right)^2 \right\} \\ &= \frac{1}{2} \left( 4 \cdot 2 \cdot \sqrt{1-t^2} \right) \\ &= 4\sqrt{1-t^2} \end{aligned} $$

よって、立体 $T$ の体積 $V$ は $S(t)$ を $-1$ から $1$ まで積分して得られる。

$$ V = \int_{-1}^{1} S(t) \, dt = 4 \int_{-1}^{1} \sqrt{1-t^2} \, dt $$

定積分 $\int_{-1}^{1} \sqrt{1-t^2} \, dt$ は半径 $1$ の半円の面積 $\frac{\pi}{2}$ を表すから、

$$ V = 4 \times \frac{\pi}{2} = 2\pi $$

(2)

$T$ を $x$ 軸まわりに回転させてできる立体は、各 $x=t$ ($-1 \leqq t \leqq 1$) における断面 $D_t$ を $x$ 軸まわりに回転させた図形を重ね合わせたものである。断面 $D_t$ は $x=t$ 平面上にある。この平面上で、点 $(t, y, z)$ と $x$ 軸（点 $(t, 0, 0)$）の距離の2乗を $r^2$ とすると、

$$ r^2 = y^2 + z^2 $$

$D_t$ における $r^2$ の最大値 $M^2$ と最小値 $m^2$ を求める。 $D_t$ は $2-\sqrt{1-t^2} \leqq y \leqq 2+\sqrt{1-t^2}$ かつ $0 \leqq z \leqq y$ で表される。 $y$ を固定すると、$r^2 = y^2+z^2$ は $z=0$ のとき最小値 $y^2$、$z=y$ のとき最大値 $2y^2$ をとる。 $y$ は正の区間を動くため、全体の最大値 $M^2$ は $y$ が最大となる $y = 2+\sqrt{1-t^2}$ のときの $z=y$ で与えられる。

$$ M^2 = 2 \left( 2+\sqrt{1-t^2} \right)^2 $$

一方、全体の最小値 $m^2$ は $y$ が最小となる $y = 2-\sqrt{1-t^2}$ のときの $z=0$ で与えられる。

$$ m^2 = \left( 2-\sqrt{1-t^2} \right)^2 $$

領域 $D_t$ は連結であるため、$r^2$ は $m^2$ から $M^2$ までのすべての値をとる。したがって、$D_t$ を $x$ 軸まわりに回転させた図形は、内径 $m$、外径 $M$ の円環（内部を含む）となる。その断面積を $S_{rot}(t)$ とすると、

$$ \begin{aligned} S_{rot}(t) &= \pi \left( M^2 - m^2 \right) \\ &= \pi \left\{ 2 \left( 2+\sqrt{1-t^2} \right)^2 - \left( 2-\sqrt{1-t^2} \right)^2 \right\} \end{aligned} $$

$a = \sqrt{1-t^2}$ とおくと、$a^2 = 1-t^2$ であり、

$$ \begin{aligned} 2(2+a)^2 - (2-a)^2 &= 2(4+4a+a^2) - (4-4a+a^2) \\ &= 4 + 12a + a^2 \\ &= 4 + 12\sqrt{1-t^2} + (1-t^2) \\ &= 5 - t^2 + 12\sqrt{1-t^2} \end{aligned} $$

となるから、

$$ S_{rot}(t) = \pi \left( 5 - t^2 + 12\sqrt{1-t^2} \right) $$

求める回転体の体積 $V_{rot}$ は、これを $-1 \leqq t \leqq 1$ で積分して求められる。区間が対称であるため、偶関数の性質を利用する。

$$ \begin{aligned} V_{rot} &= \int_{-1}^{1} \pi \left( 5 - t^2 + 12\sqrt{1-t^2} \right) \, dt \\ &= \pi \int_{-1}^{1} (5 - t^2) \, dt + 12\pi \int_{-1}^{1} \sqrt{1-t^2} \, dt \\ &= 2\pi \int_{0}^{1} (5 - t^2) \, dt + 12\pi \cdot \frac{\pi}{2} \\ &= 2\pi \left[ 5t - \frac{1}{3}t^3 \right]_{0}^{1} + 6\pi^2 \\ &= 2\pi \left( 5 - \frac{1}{3} \right) + 6\pi^2 \\ &= \frac{28}{3}\pi + 6\pi^2 \end{aligned} $$

解説

空間図形を座標平面に平行な平面で切断し、断面積を積分して体積を求める典型的な問題である。立体を不等式で適切に表現できるかが第一のポイントとなる。特に、$x$ 軸と点 $(0,2,2)$ を通る平面の方程式を $z=y$ と立式し、底面を含む側の条件を $0 \leqq z \leqq y$ と正しく絞り込めるかが問われている。 (2) の回転体の体積では、回転軸からの距離の2乗がどのような範囲を動くかを断面上で見極めることが重要である。今回は断面が台形状の領域であり、最も原点（回転軸）から遠い点と近い点がどこかを順序立てて調べればよい。