九州大学 2001年 理系 第3問 解説

方針・初手

円柱と正四角柱をそれぞれ $xyz$ 空間における不等式で表し、平面 $z=t$ による切り口（断面）の領域を数式で捉えます。 断面の形状がどのようになるかは、$x, y$ 座標のとりうる範囲から判断します。このとき、与えられた条件 $r \leqq \sqrt{2}$ が、切り口の形状が変化しないことを保証する役割を果たします。断面積が求まれば、それを $z$ 軸方向に積分して体積を求め、最後に $r$ で微分して最大値を調べます。

解法1

(1)

円柱の中心軸は $x$ 軸で、半径が $r$ であるから、円柱が表す領域は、

$$y^2 + z^2 \leqq r^2$$

と表せる。

また、正四角柱の中心軸は $z$ 軸であり、$xy$ 平面での切り口は一辺の長さが $\frac{2\sqrt{2}}{r}$ で対角線が $x$ 軸、$y$ 軸上にある正方形である。 この正方形の対角線の長さは $\frac{2\sqrt{2}}{r} \times \sqrt{2} = \frac{4}{r}$ であるから、各頂点の座標は $(\pm \frac{2}{r}, 0, 0), (0, \pm \frac{2}{r}, 0)$ となる。 したがって、正四角柱が表す領域は $z$ の値によらず、

$$|x| + |y| \leqq \frac{2}{r}$$

と表せる。

円柱と正四角柱の共通部分 $K$ を、平面 $z=t$ ($-r \leqq t \leqq r$) で切断したときの切り口の領域 $D$ は、これら2つの不等式に $z=t$ を代入して得られる連立不等式で表される。

$$\begin{cases} y^2 \leqq r^2 - t^2 \\ |x| + |y| \leqq \frac{2}{r} \end{cases}$$

これを整理すると、

$$\begin{cases} -\sqrt{r^2 - t^2} \leqq y \leqq \sqrt{r^2 - t^2} \\ -\frac{2}{r} + |y| \leqq x \leqq \frac{2}{r} - |y| \end{cases}$$

となる。

ここで、$-r \leqq t \leqq r$ において $\sqrt{r^2 - t^2}$ の最大値は $t=0$ のときの $r$ である。 一方、条件 $0 < r \leqq \sqrt{2}$ より $r^2 \leqq 2$ であり、両辺を $r (>0)$ で割ると $r \leqq \frac{2}{r}$ が成り立つ。 したがって、領域 $D$ における $y$ の最大値に対しても、

$$|y| \leqq \sqrt{r^2 - t^2} \leqq r \leqq \frac{2}{r}$$

が成り立つため、常に $\frac{2}{r} - |y| \geqq 0$ となり、$x$ の範囲は有効な区間として存在する。

領域 $D$ は $x$ 軸および $y$ 軸に関して対称であるため、その面積 $S(t)$ は、第1象限（$x \geqq 0, y \geqq 0$）の面積を $4$ 倍して求められる。 第1象限における領域は、

$$\begin{cases} 0 \leqq y \leqq \sqrt{r^2 - t^2} \\ 0 \leqq x \leqq \frac{2}{r} - y \end{cases}$$

であるから、$S(t)$ は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} S(t) &= 4 \int_{0}^{\sqrt{r^2 - t^2}} \left( \frac{2}{r} - y \right) dy \\ &= 4 \left[ \frac{2}{r} y - \frac{1}{2} y^2 \right]_{0}^{\sqrt{r^2 - t^2}} \\ &= 4 \left( \frac{2}{r} \sqrt{r^2 - t^2} - \frac{1}{2} (r^2 - t^2) \right) \\ &= \frac{8}{r} \sqrt{r^2 - t^2} - 2(r^2 - t^2) \end{aligned}$$

(2)

共通部分 $K$ の体積 $V(r)$ は、断面積 $S(t)$ を $z$ 軸方向に $-r$ から $r$ まで積分することで求められる。 被積分関数は偶関数であるため、積分範囲を $0$ から $r$ までとして $2$ 倍する。

$$\begin{aligned} V(r) &= \int_{-r}^{r} S(t) dt \\ &= 2 \int_{0}^{r} \left\{ \frac{8}{r} \sqrt{r^2 - t^2} - 2(r^2 - t^2) \right\} dt \\ &= \frac{16}{r} \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - t^2} dt - 4 \int_{0}^{r} (r^2 - t^2) dt \end{aligned}$$

ここで、$\int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - t^2} dt$ は半径 $r$ の円の面積の $\frac{1}{4}$ であるから $\frac{\pi}{4} r^2$ である。 したがって、

$$\begin{aligned} V(r) &= \frac{16}{r} \cdot \frac{\pi}{4} r^2 - 4 \left[ r^2 t - \frac{1}{3} t^3 \right]_{0}^{r} \\ &= 4 \pi r - 4 \left( r^3 - \frac{1}{3} r^3 \right) \\ &= 4 \pi r - 4 \cdot \frac{2}{3} r^3 \\ &= 4 \pi r - \frac{8}{3} r^3 \end{aligned}$$

(3)

(2) で求めた $V(r)$ を $r$ で微分する。

$$V'(r) = 4 \pi - 8 r^2 = 8 \left( \frac{\pi}{2} - r^2 \right)$$

$V'(r) = 0$ となるのは $r^2 = \frac{\pi}{2}$ すなわち $r = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$ のときである。 ここで、$\pi < 4$ より $\frac{\pi}{2} < 2$ であるから、$\sqrt{\frac{\pi}{2}} < \sqrt{2}$ となり、$r = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$ は定義域 $0 < r \leqq \sqrt{2}$ に含まれる。

$0 < r \leqq \sqrt{2}$ における $V(r)$ の増減表は以下のようになる。

増減表より、$V(r)$ は $r = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$ のとき最大値をとる。 その最大値は、

$$\begin{aligned} V\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right) &= 4 \pi \sqrt{\frac{\pi}{2}} - \frac{8}{3} \left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right)^3 \\ &= \sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( 4 \pi - \frac{8}{3} \cdot \frac{\pi}{2} \right) \\ &= \sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( 4 \pi - \frac{4}{3} \pi \right) \\ &= \frac{8}{3} \pi \sqrt{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{8}{3} \pi \cdot \frac{\sqrt{2\pi}}{2} \\ &= \frac{4\sqrt{2}\pi\sqrt{\pi}}{3} \end{aligned}$$

解説

空間図形の体積を求める典型問題ですが、立体の表す不等式を正しく立式できるかが第一の関門です。 正四角柱を絶対値を用いた不等式 $|x| + |y| \leqq \frac{2}{r}$ で簡潔に表現できると、その後の断面の処理が非常に楽になります。 また、(1) において積分を行う際、$r \leqq \sqrt{2}$ という一見唐突な条件が、切り口の境界線の形状（今回は $x$ 軸、$y$ 軸で囲まれる領域が常に四角形になること）を保証している点に気づく必要があります。ここの確認を怠ると、場合分けの必要性を疑われ、減点対象となる恐れがあるため注意が必要です。

答え

(1) $\frac{8}{r} \sqrt{r^2 - t^2} - 2(r^2 - t^2)$

(2) $V(r) = 4 \pi r - \frac{8}{3} r^3$

(3) 最大値は $\frac{4\sqrt{2}\pi\sqrt{\pi}}{3}$ （$r = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$ のとき）