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九州大学 2024年理系第3問解説

方針・初手

階乗を含む等式や不等式の問題である。階乗の性質に基づいて不等式評価を行い、取り得る値の範囲を絞り込むことが基本方針となる。

(1) は階乗の定義に従って割り算を実行し、残った因子が自然数であることを利用して下限を評価する。 (2) は (1) の不等式を直接利用して $b$ の値を絞り込む。 (3) は与式の対称性に注目して大小関係で場合分けを行い、一番大きい階乗や中間の階乗で両辺を割ることで、矛盾を導く。

解法1

(1)

自然数 $a, b$ が $a < b$ を満たすとき、$b \geqq 2$ であり、$b-1 \geqq a$ となる。ここで、$\frac{b!}{a!}$ を次のように変形する。

$$ \frac{b!}{a!} = \frac{b \cdot (b-1)!}{a!} = b \cdot \frac{(b-1)!}{a!} $$

$b-1 \geqq a$ より、$(b-1)!$ は $a!$ の倍数であるから、$\frac{(b-1)!}{a!}$ は自然数である。自然数は $1$ 以上であるため、$\frac{(b-1)!}{a!} \geqq 1$ が成り立つ。したがって、以下の不等式が示される。

$$ \frac{b!}{a!} = b \cdot \frac{(b-1)!}{a!} \geqq b \cdot 1 = b $$

(2)

与えられた等式は $2 \cdot a! = b!$ である。もし $b \leqq a$ であると仮定すると、$b! \leqq a!$ となるため、$2 \cdot a! = b! \leqq a!$ すなわち $2 \leqq 1$ となり矛盾する。よって、$a < b$ であることが分かる。

等式を整理すると、$\frac{b!}{a!} = 2$ となる。 (1) の結果より、$\frac{b!}{a!} \geqq b$ が成り立つため、$2 \geqq b$ である。 $a, b$ は $a < b$ を満たす自然数であるから、$b \geqq 2$ でなければならない。よって、$b = 2$ に確定する。

このとき元の等式に代入すると、$2 \cdot a! = 2! = 2$ となり、$a! = 1$ を得る。 $a$ は自然数であるから、$a = 1$ である。以上より、条件を満たす組は $(a, b) = (1, 2)$ のみである。

(3)

与えられた等式は $a! + b! = 2 \cdot c!$ である。 $a$ と $b$ の大小関係によって場合分けを行う。

(i) $a = b$ のとき

等式は $2 \cdot a! = 2 \cdot c!$ となり、$a! = c!$ を得る。 $a, c$ は自然数であるから、$a = c$ である。したがって、$a = b = c$ であり、このとき等式は任意の自然数について成り立つ。

(ii) $a < b$ のとき

もし $c \geqq b$ であると仮定すると、$c! \geqq b!$ となる。このとき、

$$ 2 \cdot c! \geqq 2 \cdot b! = b! + b! > a! + b! $$

となり、与式と矛盾する。よって、$c < b$ である。また、もし $c \leqq a$ であると仮定すると、$c! \leqq a!$ となる。このとき、

$$ 2 \cdot c! \leqq 2 \cdot a! = a! + a! < a! + b! $$

となり、やはり与式と矛盾する。よって、$a < c$ である。以上より、$a < c < b$ が成り立つ。

ここで、与式の両辺を $c!$ で割ると以下のようになる。

$$ \frac{a!}{c!} + \frac{b!}{c!} = 2 $$

$c < b$ であるから、(1) の結果を用いると $\frac{b!}{c!} \geqq b$ と評価できる。また、$a, c$ は自然数であるから、$\frac{a!}{c!} > 0$ である。これらを上の等式に適用すると、以下の不等式を得る。

$$ 2 = \frac{a!}{c!} + \frac{b!}{c!} > 0 + b = b $$

すなわち $b < 2$ となる。しかし、$a, c, b$ は自然数であり、$1 \leqq a < c < b$ を満たすため、$b$ は少なくとも $3$ 以上でなければならず、矛盾する。したがって、$a < b$ を満たす自然数の組は存在しない。

(iii) $a > b$ のとき

式 $a! + b! = 2 \cdot c!$ は $a$ と $b$ について対称であるから、(ii) と同様の議論により、この場合も条件を満たす自然数の組は存在しない。

以上 (i) ～ (iii) より、等式を満たす自然数の組は $a = b = c$ の場合のみである。

解説

階乗の方程式を解く際の典型的なアプローチである「大小関係による評価」をテーマにした問題である。 (1) で証明した不等式が、後の設問の強力な評価式として機能する構成になっている。 (3) では、等式の一部を極端に大きく見積もる背理法のような評価を行い、$a, b, c$ の大小関係を確定させることが重要である。さらに全体を中間サイズである $c!$ で割ることによって、(1) を活用できる形に持ち込むのが最大のポイントとなる。