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名古屋大学 1965年文系第5問解説

方針・初手

三角形の面積 $S$ と3辺の長さ $a, b, c$、およびそれぞれの辺に対応する高さ $h_a, h_b, h_c$ の間には $S = \frac{1}{2}ah_a = \frac{1}{2}bh_b = \frac{1}{2}ch_c$ の関係が成り立つ。この関係式から3辺の長さの比を求め、余弦定理を用いて角の余弦を計算する。さらに面積の公式を用いて辺の長さのスケールを決定し、実際の辺の長さを求める。

解法1

三角形の3辺の長さを $a, b, c$ とし、それぞれの辺に対応する高さを $h_a, h_b, h_c$ とする。また、三角形の面積を $S$ とする。面積と底辺、高さの関係より、以下の式が成り立つ。

$$ S = \frac{1}{2}ah_a = \frac{1}{2}bh_b = \frac{1}{2}ch_c $$

与えられた高さが $6, 4, 3$ であるから、便宜上 $h_a = 6, h_b = 4, h_c = 3$ とする。これらを上の式に代入すると、

$$ S = 3a = 2b = \frac{3}{2}c $$

となる。したがって、各辺の長さは $S$ を用いて次のように表せる。

$$ a = \frac{1}{3}S, \quad b = \frac{1}{2}S, \quad c = \frac{2}{3}S $$

これより、3辺の長さの比は、

$$ a : b : c = \frac{1}{3}S : \frac{1}{2}S : \frac{2}{3}S = \frac{1}{3} : \frac{1}{2} : \frac{2}{3} = 2 : 3 : 4 $$

正の実数 $k$ を用いて、$a = 2k, b = 3k, c = 4k$ とおくことができる。

(a)

三角形において、最小の頂角は最小の辺の対角である。 $2k < 3k < 4k$ より、最小の辺は長さ $a$ の辺である。その対角を $A$ とすると、余弦定理より、

$$ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $$

$$ \cos A = \frac{(3k)^2 + (4k)^2 - (2k)^2}{2 \cdot 3k \cdot 4k} $$

$$ \cos A = \frac{9k^2 + 16k^2 - 4k^2}{24k^2} = \frac{21k^2}{24k^2} = \frac{7}{8} $$

よって、最小頂角の余弦は $\frac{7}{8}$ である。

(b)

三角形の面積 $S$ を、ヘロンの公式を用いて求める。 $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{2k+3k+4k}{2} = \frac{9}{2}k$ とおくと、

$$ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $$

$$ S = \sqrt{\frac{9}{2}k \left(\frac{9}{2}k - 2k\right) \left(\frac{9}{2}k - 3k\right) \left(\frac{9}{2}k - 4k\right)} $$

$$ S = \sqrt{\frac{9}{2}k \cdot \frac{5}{2}k \cdot \frac{3}{2}k \cdot \frac{1}{2}k} = \sqrt{\frac{135}{16}k^4} = \frac{3\sqrt{15}}{4}k^2 $$

一方で、最初に確認した通り $S = 3a = 3(2k) = 6k$ であるから、

$$ \frac{3\sqrt{15}}{4}k^2 = 6k $$

$k > 0$ であるため、両辺を $3k$ で割って整理すると、

$$ \frac{\sqrt{15}}{4}k = 2 $$

$$ k = \frac{8}{\sqrt{15}} = \frac{8\sqrt{15}}{15} $$

したがって、求める3辺の長さはそれぞれ以下のようになる。

$$ a = 2k = \frac{16\sqrt{15}}{15} $$

$$ b = 3k = \frac{24\sqrt{15}}{15} = \frac{8\sqrt{15}}{5} $$

$$ c = 4k = \frac{32\sqrt{15}}{15} $$

解法2

(b) の別解

(a) で $\cos A = \frac{7}{8}$ と求めたことを利用して、角 $A$ の正弦を求める。 $0^\circ < A < 180^\circ$ より $\sin A > 0$ であるから、

$$ \sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{7}{8}\right)^2} = \sqrt{\frac{64 - 49}{64}} = \frac{\sqrt{15}}{8} $$

三角形の面積 $S$ は、2辺とその間の角を用いて次のように表せる。

$$ S = \frac{1}{2}bc \sin A $$

$b = 3k, c = 4k$ と $\sin A = \frac{\sqrt{15}}{8}$ を代入すると、

$$ S = \frac{1}{2} \cdot 3k \cdot 4k \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} = \frac{3\sqrt{15}}{4}k^2 $$

これと $S = 3a = 6k$ を等置して方程式を解くことで、解法1と同様に $k$ を求めることができる。

$$ \frac{3\sqrt{15}}{4}k^2 = 6k $$

$k > 0$ より、

$$ k = \frac{8}{\sqrt{15}} = \frac{8\sqrt{15}}{15} $$

よって、3辺の長さは $a = \frac{16\sqrt{15}}{15}, b = \frac{8\sqrt{15}}{5}, c = \frac{32\sqrt{15}}{15}$ となる。

解説

「三角形の各辺の長さと、それに対応する高さが反比例する」という性質を利用して辺の比を求めるのがこの問題の定石である。面積 $S$ を媒介変数とすることで比が求まり、その比を用いて余弦定理から角の情報を引き出すことができる。(b) では、文字式で表された面積が、比の定数 $k$ を用いて2通りに表せる（「底辺 $\times$ 高さ $\div 2$」と「ヘロンの公式」または「$\frac{1}{2}bc\sin A$」）ことを利用し、方程式を立てて実際の長さを確定させる。