名古屋大学 2011年 文系 第3問 解説

方針・初手

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とおき、与えられた距離の比の条件を座標の式に翻訳します。 (1) では $OP:AP = 1:a$ を2乗して根号を含まない式にし、$a=1$ と $a \neq 1$ で場合分けをして軌跡を求めます。 (2) では $OP:AP:BP = 1:a:b$ を $OP:AP = 1:a$ かつ $OP:BP = 1:b$ と2つの条件に分解し、(1) で求めた軌跡（2つの円）が共有点をもつための条件を考えます。

解法1

(1)

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とおく。 条件 $OP:AP = 1:a$ は、$a OP = AP$ と同値である。 両辺は 0 以上であるから、両辺を2乗して

$$ a^2 OP^2 = AP^2 $$

$OP^2 = x^2 + y^2$、$AP^2 = (x-1)^2 + y^2$ を代入し、展開して整理する。

$$ \begin{aligned} a^2(x^2 + y^2) &= (x-1)^2 + y^2 \\ (a^2-1)x^2 + 2x + (a^2-1)y^2 &= 1 \end{aligned} $$

(i) $a=1$ のとき

与式は以下のようになる。

$$ 2x = 1 \iff x = \frac{1}{2} $$

よって、点 $P$ の軌跡は、点 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ を通り $y$ 軸に平行な直線である。

(ii) $a \neq 1$ かつ $a>0$ のとき

$a^2-1 \neq 0$ であるから、両辺を $a^2-1$ で割り、平方完成する。

$$ \begin{aligned} x^2 + \frac{2}{a^2-1}x + y^2 &= \frac{1}{a^2-1} \\ \left(x + \frac{1}{a^2-1}\right)^2 + y^2 &= \frac{1}{a^2-1} + \frac{1}{(a^2-1)^2} \\ \left(x + \frac{1}{a^2-1}\right)^2 + y^2 &= \frac{a^2}{(a^2-1)^2} \end{aligned} $$

よって、点 $P$ の軌跡は、中心 $\left(-\frac{1}{a^2-1}, 0\right)$、半径 $\left|\frac{a}{a^2-1}\right|$ の円である。

(2)

条件 $OP:AP:BP = 1:a:b$ は、$OP:AP = 1:a$ かつ $OP:BP = 1:b$ と同値である。

$a>1$ であるから、(1) の (ii) より、$OP:AP = 1:a$ を満たす点 $P$ の軌跡 $C_1$ は、中心 $\left(-\frac{1}{a^2-1}, 0\right)$、半径 $r_1 = \frac{a}{a^2-1}$ の円である。

同様に、$OP:BP = 1:b$ より $b^2 OP^2 = BP^2$ であり、$P(x, y)$ として式を整理すると、

$$ (b^2-1)x^2 + (b^2-1)y^2 + 2y = 1 $$

$0<b<1$ より $b^2-1 \neq 0$ であるから、同様に平方完成して

$$ x^2 + \left(y + \frac{1}{b^2-1}\right)^2 = \frac{b^2}{(b^2-1)^2} $$

したがって、軌跡 $C_2$ は、中心 $\left(0, -\frac{1}{b^2-1}\right)$、半径 $r_2 = \left|\frac{b}{b^2-1}\right| = \frac{b}{1-b^2}$ の円である。

条件を満たす点 $P$ が存在するための必要十分条件は、2つの円 $C_1, C_2$ が共有点をもつことである。 中心間の距離を $d$ とすると、共有点をもつ条件は

$$ (r_1 - r_2)^2 \le d^2 \le (r_1 + r_2)^2 $$

中心間の距離の2乗は $d^2 = \frac{1}{(a^2-1)^2} + \frac{1}{(b^2-1)^2}$ である。 また、$2r_1 r_2 = 2 \cdot \frac{a}{a^2-1} \cdot \frac{b}{1-b^2} = -\frac{2ab}{(a^2-1)(b^2-1)}$ であることに注意すると、

$$ \begin{aligned} (r_1 - r_2)^2 &= r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2 = \frac{a^2}{(a^2-1)^2} + \frac{b^2}{(b^2-1)^2} + \frac{2ab}{(a^2-1)(b^2-1)} \\ (r_1 + r_2)^2 &= r_1^2 + r_2^2 + 2r_1r_2 = \frac{a^2}{(a^2-1)^2} + \frac{b^2}{(b^2-1)^2} - \frac{2ab}{(a^2-1)(b^2-1)} \end{aligned} $$

左側の不等式 $(r_1 - r_2)^2 \le d^2$ に代入して整理する。

$$ \frac{a^2-1}{(a^2-1)^2} + \frac{b^2-1}{(b^2-1)^2} + \frac{2ab}{(a^2-1)(b^2-1)} \le 0 $$

$$ \frac{1}{a^2-1} + \frac{1}{b^2-1} + \frac{2ab}{(a^2-1)(b^2-1)} \le 0 $$

両辺に $(a^2-1)(b^2-1)$（$a>1>b>0$ より負の値である）を掛けると、不等号の向きが変わる。

$$ \begin{aligned} b^2-1 + a^2-1 + 2ab &\ge 0 \\ (a+b)^2 - 2 &\ge 0 \end{aligned} $$

$a+b>0$ より $a+b \ge \sqrt{2}$ を得る。

次に、右側の不等式 $d^2 \le (r_1 + r_2)^2$ に代入して整理する。

$$ 0 \le \frac{a^2-1}{(a^2-1)^2} + \frac{b^2-1}{(b^2-1)^2} - \frac{2ab}{(a^2-1)(b^2-1)} $$

$$ 0 \le \frac{1}{a^2-1} + \frac{1}{b^2-1} - \frac{2ab}{(a^2-1)(b^2-1)} $$

同様に両辺に $(a^2-1)(b^2-1)$ を掛ける。

$$ \begin{aligned} 0 &\ge b^2-1 + a^2-1 - 2ab \\ (a-b)^2 - 2 &\le 0 \end{aligned} $$

$a-b>0$ より $a-b \le \sqrt{2}$ を得る。

以上より、求める条件は $a>1$ かつ $0<b<1$ のもとで

$$ a+b \ge \sqrt{2} \quad \text{かつ} \quad a-b \le \sqrt{2} $$

である。これを $ab$ 平面上に図示すると、直線 $b = -a + \sqrt{2}$ と直線 $b = a - \sqrt{2}$ に挟まれた領域のうち、$a>1, 0<b<1$ を満たす部分となる。

解法2

(2) の別解

$OP = r$（$r>0$）とおくと、条件 $OP:AP:BP = 1:a:b$ より $AP = ar$、$BP = br$ である。 点 $P$ の座標を $(x, y)$ とすると、$x^2 + y^2 = r^2$ であり、

$$ \begin{aligned} AP^2 &= (x-1)^2 + y^2 = r^2 - 2x + 1 = a^2 r^2 \\ BP^2 &= x^2 + (y-1)^2 = r^2 - 2y + 1 = b^2 r^2 \end{aligned} $$

これらから $x, y$ を $r$ で表すと

$$ \begin{aligned} 2x &= 1 - (a^2-1)r^2 \\ 2y &= 1 - (b^2-1)r^2 \end{aligned} $$

となる。これらを $(2x)^2 + (2y)^2 = 4(x^2 + y^2) = 4r^2$ に代入する。

$$ \{1 - (a^2-1)r^2\}^2 + \{1 - (b^2-1)r^2\}^2 = 4r^2 $$

展開して整理すると、$r$ についての方程式が得られる。

$$ \{(a^2-1)^2 + (b^2-1)^2\} r^4 - 2(a^2 + b^2) r^2 + 2 = 0 $$

$X = r^2$ とおくと、

$$ \{(a^2-1)^2 + (b^2-1)^2\} X^2 - 2(a^2 + b^2) X + 2 = 0 $$

もしこの2次方程式が $X>0$ となる実数解をもてば、そこから $x, y$ が一意に定まり、それらは自動的に $x^2 + y^2 = X$ を満たすため、条件を満たす点 $P(x, y)$ が存在することになる。 したがって、点 $P$ が存在する条件は、この2次方程式が $X>0$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつことである。

左辺を $f(X)$ とおく。$a>1>b>0$ より $X^2$ の係数は正であり、放物線 $Y = f(X)$ は下に凸である。 $f(0) = 2 > 0$ であり、軸の方程式は $X = \frac{a^2+b^2}{(a^2-1)^2+(b^2-1)^2} > 0$ であるため、$X>0$ で実数解をもつための必要十分条件は、判別式を $D$ とすると $D \ge 0$ である。

$$ \frac{D}{4} = (a^2 + b^2)^2 - 2\{(a^2-1)^2 + (b^2-1)^2\} \ge 0 $$

展開して整理する。

$$ \begin{aligned} a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - 2(a^4 - 2a^2 + 1 + b^4 - 2b^2 + 1) &\ge 0 \\ -a^4 + 2a^2b^2 - b^4 + 4a^2 + 4b^2 - 4 &\ge 0 \\ -(a^2 - b^2)^2 + 4(a^2 + b^2) - 4 &\ge 0 \\ (a^2 - b^2)^2 - 4(a^2 + b^2) + 4 &\le 0 \end{aligned} $$

これを因数分解の形に変形する。

$$ \{(a+b)^2 - 2\}\{(a-b)^2 - 2\} \le 0 $$

$a>1>b>0$ より $a+b > a-b > 0$ であるから、$(a+b)^2 - 2 > (a-b)^2 - 2$ が成り立つ。 したがって、積が 0 以下になる条件は

$$ (a-b)^2 - 2 \le 0 \quad \text{かつ} \quad (a+b)^2 - 2 \ge 0 $$

すなわち、$a-b \le \sqrt{2}$ かつ $a+b \ge \sqrt{2}$ となり、解法1と同じ条件が得られる。

解説

(1) はアポロニウスの円を導出する典型問題です。「軌跡を求めよ」と聞かれているため、$a=1$ の場合（直線）と $a \neq 1$ の場合（円）で適切に場合分けを行う必要があります。

(2) は、2つの条件をそれぞれ円の軌跡として捉え、「2円が共有点をもつ条件」に帰着させる解法1が最も自然な流れです。解法2のように、距離 $r$ を媒介変数として代数的に処理するアプローチも見事で、判別式から円の交点条件と全く同じ式が浮かび上がってくる構造は数学的な面白さがあります。

領域の図示では、境界の含む・含まない（端点や軸上の点に注意）を正確に読み取り、図に反映させることが採点のポイントになります。

答え

(1) $a=1$ のとき：点 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ を通り、$y$ 軸に平行な直線。 $a>0$ かつ $a \neq 1$ のとき：中心 $\left(-\frac{1}{a^2-1}, 0\right)$、半径 $\left|\frac{a}{a^2-1}\right|$ の円。

(2) 求める条件は $a+b \ge \sqrt{2}$ かつ $a-b \le \sqrt{2}$ （ただし $a>1$ かつ $0<b<1$）

$ab$ 平面上の図示領域は、 直線 $b = -a + \sqrt{2}$ 、直線 $b = a - \sqrt{2}$ 、直線 $a = 1$ 、直線 $b = 0$ 、直線 $b = 1$ で囲まれた領域のうち、以下の条件を満たす範囲である。

• 領域の頂点は $(1, \sqrt{2}-1)$, $(\sqrt{2}, 0)$, $(1+\sqrt{2}, 1)$ の3点となる。
• 境界線のうち、線分 $b = -a + \sqrt{2}$ （$1 < a < \sqrt{2}$）および線分 $b = a - \sqrt{2}$ （$\sqrt{2} \le a < 1+\sqrt{2}$）上の点は含む。
• それ以外の境界（直線 $a=1$, $b=0$, $b=1$ 上の点、および頂点 $(\sqrt{2}, 0)$ など）は含まない。