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名古屋大学 1968年理系第4問解説

方針・初手

与えられた比例式から、正の定数を用いて四角形の各辺の長さを1つの文字で表すのが第一歩である。「円に内接する四角形」という条件から、向かい合う角の和が $180^\circ$ になる性質を利用する。対角線を引いて四角形を2つの三角形に分割し、それぞれに余弦定理を適用して方程式を立てるという、この分野における典型的なアプローチで解決できる。

解法1

与えられた条件 $\frac{AB}{4} = \frac{BC}{3} = \frac{CD}{2} = \frac{DA}{1}$ より、正の定数 $k$ を用いて、 $$AB = 4k, \quad BC = 3k, \quad CD = 2k, \quad DA = k$$ とおける。

四角形 $ABCD$ は円に内接するため、向かい合う角の和は $180^\circ$ である。 $\angle ABC = \theta$ とおくと、$\angle CDA = 180^\circ - \theta$ と表せる。

対角線 $AC$ を結び、$\triangle ABC$ において余弦定理を用いると、 $$ \begin{aligned} AC^2 &= AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cos\theta \\ &= (4k)^2 + (3k)^2 - 2(4k)(3k)\cos\theta \\ &= 25k^2 - 24k^2\cos\theta \quad \cdots \text{①} \end{aligned} $$ となる。

同様に、$\triangle ACD$ において余弦定理を用いると、$\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta$ より、 $$ \begin{aligned} AC^2 &= CD^2 + DA^2 - 2 \cdot CD \cdot DA \cos(180^\circ - \theta) \\ &= (2k)^2 + k^2 - 2(2k)(k)(-\cos\theta) \\ &= 5k^2 + 4k^2\cos\theta \quad \cdots \text{②} \end{aligned} $$ となる。

①、②より $AC^2$ を消去すると、 $$25k^2 - 24k^2\cos\theta = 5k^2 + 4k^2\cos\theta$$

$$20k^2 = 28k^2\cos\theta$$

$k > 0$ より $k^2 \neq 0$ であるから、両辺を $k^2$ で割って整理すると、 $$\cos\theta = \frac{20}{28} = \frac{5}{7}$$ となる。

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ より $\sin\theta > 0$ であるから、 $$ \begin{aligned} \sin\theta &= \sqrt{1 - \cos^2\theta} \\ &= \sqrt{1 - \left(\frac{5}{7}\right)^2} \\ &= \sqrt{\frac{49 - 25}{49}} \\ &= \frac{2\sqrt{6}}{7} \end{aligned} $$ を得る。

また、①に $\cos\theta = \frac{5}{7}$ を代入して $AC^2$ を $k$ で表すと、 $$ \begin{aligned} AC^2 &= 25k^2 - 24k^2 \cdot \frac{5}{7} \\ &= \frac{175k^2 - 120k^2}{7} \\ &= \frac{55}{7}k^2 \quad \cdots \text{③} \end{aligned} $$ となる。

次に、四角形 $ABCD$ の外接円の半径が $r$ であることから、$\triangle ABC$ の外接円の半径も $r$ である。 $\triangle ABC$ において正弦定理を用いると、 $$\frac{AC}{\sin\theta} = 2r$$

両辺を2乗して整理すると、 $$AC^2 = 4r^2 \sin^2\theta$$ となる。

これに $\sin\theta = \frac{2\sqrt{6}}{7}$ と ③ を代入すると、 $$ \begin{aligned} \frac{55}{7}k^2 &= 4r^2 \left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)^2 \\ \frac{55}{7}k^2 &= 4r^2 \cdot \frac{24}{49} \\ \frac{55}{7}k^2 &= \frac{96}{49}r^2 \end{aligned} $$

これを $k^2$ について解くと、 $$ \begin{aligned} k^2 &= \frac{96}{49} r^2 \cdot \frac{7}{55} \\ &= \frac{96}{385}r^2 \end{aligned} $$ となる。

$k > 0, r > 0$ であるから、 $$ \begin{aligned} k &= \sqrt{\frac{96}{385}}r \\ &= \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{385}}r \end{aligned} $$ となる。

求めるべき辺 $AB$ の長さは $4k$ であるから、 $$ \begin{aligned} AB &= 4 \cdot \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{385}}r \\ &= \frac{16\sqrt{6}}{\sqrt{385}}r \\ &= \frac{16\sqrt{2310}}{385}r \end{aligned} $$ となる。