名古屋大学 2008年 理系 第3問 解説

方針・初手

面積 $S, T$ をそれぞれ $a, b$ を用いて立式し、$S = T$ から得られる等式を満たす $b$ （ただし $b > a$）が存在するような $a$ の条件を考える。 $S, T$ を計算する際は、そのまま積分を計算する方法と、長方形の面積の関係から $S+T$ を捉える図形的な方法がある。方程式を導いた後は、関数の増減とグラフを調べて解の存在条件に帰着させる。

解法1

曲線 $C: y = \log x$ について、$y = \log x \iff x = e^y$ である。

面積 $S, T$ はそれぞれ以下の定積分で表される。

$$ S = \int_{a}^{b} \log x dx $$

$$ T = \int_{\log a}^{\log b} x dy = \int_{\log a}^{\log b} e^y dy $$

それぞれを計算する。

$$ \begin{aligned} S &= \Bigl[ x \log x - x \Bigr]_a^b \\ &= (b \log b - b) - (a \log a - a) \\ &= b \log b - a \log a - b + a \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} T &= \Bigl[ e^y \Bigr]_{\log a}^{\log b} \\ &= e^{\log b} - e^{\log a} \\ &= b - a \end{aligned} $$

$S = T$ より、

$$ b \log b - a \log a - b + a = b - a $$

$$ b \log b - 2b = a \log a - 2a $$

ここで、関数 $f(x) = x \log x - 2x$ を考える。$S = T$ となる条件は $f(a) = f(b)$ が成り立つことである。

問題文より $1 < a < b$ であるから、「$x > 1$ の範囲で $f(a) = f(b)$ を満たす $b \ (b > a)$ が存在する」ような $a$ の条件を求めればよい。

$f(x)$ を微分すると、

$$ f'(x) = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} - 2 = \log x - 1 $$

$f'(x) = 0$ とすると $x = e$ である。$x \geqq 1$ における $f(x)$ の増減表は次のようになる。

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & 1 & \cdots & e & \cdots \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + \\ \hline f(x) & -2 & \searrow & -e & \nearrow \end{array} $$

増減表より、$f(x)$ は $1 \leqq x \leqq e$ で単調に減少し、$x \geqq e$ で単調に増加する。

また、$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} x(\log x - 2) = \infty$ である。

$y = f(x)$ のグラフと直線 $y = f(a)$ の交点が、$x > a$ の範囲に存在する条件を考える。

(i) $a \geqq e$ のとき

$x \geqq e$ の範囲で $f(x)$ は単調増加であるから、$f(a) = f(b)$ となる $b \ (b > a)$ は存在しない。

(ii) $1 < a < e$ のとき

$-e < f(a) < -2$ である。

$x > e$ の範囲において $f(x)$ は $-e$ から $\infty$ まで単調にすべての実数値をとるため、$f(b) = f(a)$ となる $b > e$ がただ1つ存在する。

$a < e$ と $b > e$ より、$a < b$ を満たす。

以上より、条件を満たす $a$ の値の範囲は $1 < a < e$ である。

解法2

（図形的な性質を利用した $S, T$ の関係の導出）

点 $P(a, \log a)$、点 $Q(b, \log b)$ から各座標軸に下ろした垂線を考え、座標平面上の長方形の面積を用いて関係式を導く。

$x$ 軸、$y$ 軸、直線 $x=b$、直線 $y=\log b$ で囲まれた長方形の面積は $b \log b$ である。

ここから、$x$ 軸、$y$ 軸、直線 $x=a$、直線 $y=\log a$ で囲まれた長方形の面積 $a \log a$ を引いた L 字型の領域の面積を考える。

この領域は、曲線 $C$ を境に面積 $S$ の部分と面積 $T$ の部分に分割されるため、次の等式が成り立つ。

$$ S + T = b \log b - a \log a $$

条件 $S = T$ より、

$$ 2T = b \log b - a \log a $$

ここで、$T$ の面積は $y$ 軸を基準に積分することで容易に求まる。$y = \log x \iff x = e^y$ より、

$$ \begin{aligned} T &= \int_{\log a}^{\log b} x dy \\ &= \Bigl[ e^y \Bigr]_{\log a}^{\log b} \\ &= b - a \end{aligned} $$

これを先ほどの等式に代入すると、

$$ 2(b - a) = b \log b - a \log a $$

整理して、

$$ b \log b - 2b = a \log a - 2a $$

関数 $f(x) = x \log x - 2x$ とおくと、条件は $f(a) = f(b)$ かつ $1 < a < b$ を満たす $b$ が存在することとなる。

$f'(x) = \log x - 1$ より、$f'(x) = 0$ となるのは $x = e$ のときである。

$x > 1$ における $f(x)$ の増減を調べると、$1 < x < e$ で単調減少、$x > e$ で単調増加となり、$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ である。

したがって、$x > 1$ における $y = f(x)$ のグラフを考えると、$f(a) = f(b)$ となる $b > a$ が存在するための条件は、点 $(a, f(a))$ が単調減少の区間にあり、かつ $y = f(x)$ の右側の単調増加の部分と交点を持つことである。

よって $1 < a < e$ となる。このとき $-e < f(a) < -2$ であり、$x > e$ における値域 $(-e, \infty)$ に含まれるため、条件を満たす $b$ が確かに存在する。

解説

逆関数の積分 $T = \int_{\log a}^{\log b} e^y dy$ に気づけるかが最初のポイントである。$y$ 軸方向の積分に直すことで、部分積分を用いずに容易に計算ができる。

また、解法2で示したような「長方形の面積の差を $S + T$ として捉える」という図形的な視点は、逆関数が絡む面積計算において非常に有用な定石である。これにより、片方の少し面倒な積分（今回は $S$）の計算を回避できる。

方程式 $f(a) = f(b)$ から変数の範囲を求める議論については、「一方の変数を固定して、もう一方の方程式の解の存在条件を考える」という関数のグラフを用いた定性的な評価が求められている。

答え

$$ 1 < a < e $$