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名古屋大学 2008年理系第5問解説

方針・初手

袋の中に含まれる玉の個数と色を整理し、確率や期待値の基本定義に沿って計算する。
期待値の計算においては、「和の期待値は、期待値の和に等しい」という期待値の線形性を利用すると、計算の手間を大きく省くことができる。この性質は非復元抽出（同時に複数個を取り出す操作）でも成り立つ。
(3)では、最初に取り出した $3$ 個の玉の中に含まれる赤玉の個数によって、袋Aに残っている玉の内訳が変化する。それぞれの状況下で、袋Aから追加で $2$ 個取り出した場合の期待値と、袋Bから $2$ 個取り出した場合の期待値を比較し、より大きくなる方を選択して全体の期待値を計算する。

解法1

袋Aには合計 $8$ 個の玉（赤 $4$、白 $4$）、袋Bには合計 $5$ 個の玉（赤 $3$、白 $2$）が入っている。

(1) 袋Bから $2$ 個の玉を取り出すとき、含まれる赤玉の個数を $X$ とおく。 $X$ のとり得る値は $0, 1, 2$ であり、それぞれの確率は次のようになる。

$$ P(X=0) = \frac{{}_2\mathrm{C}_{2}}{{}_5\mathrm{C}_{2}} = \frac{1}{10} $$

$$ P(X=1) = \frac{{}_3\mathrm{C}_{1} \times {}_2\mathrm{C}_{1}}{{}_5\mathrm{C}_{2}} = \frac{3 \times 2}{10} = \frac{6}{10} $$

$$ P(X=2) = \frac{{}_3\mathrm{C}_{2}}{{}_5\mathrm{C}_{2}} = \frac{3}{10} $$

よって、求める期待値 $E(X)$ は次のように計算できる。

$$ E(X) = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{6}{10} + 2 \times \frac{3}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} $$

（別解：袋Bから玉を $1$ 回取り出すとき、それが赤玉である確率は $\frac{3}{5}$ である。期待値の線形性より、$2$ 個取り出すときの赤玉の個数の期待値は $2 \times \frac{3}{5} = \frac{6}{5}$ となる。）

(2) 袋Aから $3$ 個取り出すとき、含まれる赤玉の個数を $Y$ とおく。$Y$ のとり得る値は $0, 1, 2, 3$ である。求めるのは、袋Aからの $3$ 個と袋Bからの $2$ 個を合わせて赤玉が $3$ 個になる確率、すなわち $Y + X = 3$ となる確率である。これを満たす $(Y, X)$ の組は、$(1, 2), (2, 1), (3, 0)$ の $3$ つの排反な事象に分けられる。

袋Aから $3$ 個取り出すときのそれぞれの確率は次のようになる。

$$ P(Y=1) = \frac{{}_4\mathrm{C}_{1} \times {}_4\mathrm{C}_{2}}{{}_8\mathrm{C}_{3}} = \frac{4 \times 6}{56} = \frac{24}{56} $$

$$ P(Y=2) = \frac{{}_4\mathrm{C}_{2} \times {}_4\mathrm{C}_{1}}{{}_8\mathrm{C}_{3}} = \frac{6 \times 4}{56} = \frac{24}{56} $$

$$ P(Y=3) = \frac{{}_4\mathrm{C}_{3}}{{}_8\mathrm{C}_{3}} = \frac{4}{56} $$

したがって、求める確率は次のようになる。

$$ \begin{aligned} P(Y+X=3) &= P(Y=1)P(X=2) + P(Y=2)P(X=1) + P(Y=3)P(X=0) \\ &= \frac{24}{56} \times \frac{3}{10} + \frac{24}{56} \times \frac{6}{10} + \frac{4}{56} \times \frac{1}{10} \\ &= \frac{72 + 144 + 4}{560} \\ &= \frac{220}{560} \\ &= \frac{11}{28} \end{aligned} $$

(3) 袋Aから最初に取り出した $3$ 個の玉に含まれる赤玉の個数 $Y$ の値によって場合分けをする。 $Y=k$ ($k=0, 1, 2, 3$) のとき、袋Aには全部で $5$ 個の玉が残り、そのうち赤玉は $4-k$ 個である。

追加で $2$ 個の玉を取り出す際、袋Aを選ぶ場合、得られる赤玉の個数の期待値 $E_A(k)$ は、期待値の線形性から次のように求まる。

$$ E_A(k) = 2 \times \frac{4-k}{5} = \frac{8-2k}{5} $$

袋Bを選ぶ場合、得られる赤玉の個数の期待値 $E_B$ は、(1)より次の通りである。

$$ E_B = \frac{6}{5} $$

「できるだけ多くの赤玉を取り出そうと選択した」という条件は、各状況において期待値が大きい方の袋を選択することと解釈できる。このとき追加で得られる期待値を $E_{\text{add}}(k) = \max\{E_A(k), E_B\}$ とおく。

(i) $k=0$ のとき $E_A(0) = \frac{8}{5}$、$E_B = \frac{6}{5}$ より、期待値が大きい袋Aを選択する。よって $E_{\text{add}}(0) = \frac{8}{5}$ である。

(ii) $k=1$ のとき $E_A(1) = \frac{6}{5}$、$E_B = \frac{6}{5}$ より、どちらを選んでも期待値は変わらない。よって $E_{\text{add}}(1) = \frac{6}{5}$ である。

(iii) $k=2$ のとき $E_A(2) = \frac{4}{5}$、$E_B = \frac{6}{5}$ より、期待値が大きい袋Bを選択する。よって $E_{\text{add}}(2) = \frac{6}{5}$ である。

(iv) $k=3$ のとき $E_A(3) = \frac{2}{5}$、$E_B = \frac{6}{5}$ より、期待値が大きい袋Bを選択する。よって $E_{\text{add}}(3) = \frac{6}{5}$ である。

最終的に取り出される赤玉の合計個数の期待値 $E$ は、最初に取り出された個数 $k$ と追加される期待値 $E_{\text{add}}(k)$ の和の期待値となる。

$$ \begin{aligned} E &= \sum_{k=0}^3 P(Y=k) \{ k + E_{\text{add}}(k) \} \\ &= E(Y) + \sum_{k=0}^3 P(Y=k) E_{\text{add}}(k) \end{aligned} $$

ここで、$Y$ は全 $8$ 個中から $3$ 個取り出すときの赤玉の個数であるため、期待値の線形性より以下となる。

$$ E(Y) = 3 \times \frac{4}{8} = \frac{3}{2} $$

一方、追加分の期待値の和は次のように計算できる。（$P(Y=0) = \frac{{}_4\mathrm{C}_{0} \times {}_4\mathrm{C}_{3}}{{}_8\mathrm{C}_{3}} = \frac{4}{56}$ であることを用いる）

$$ \begin{aligned} \sum_{k=0}^3 P(Y=k) E_{\text{add}}(k) &= P(Y=0) \times \frac{8}{5} + \{ 1 - P(Y=0) \} \times \frac{6}{5} \\ &= \frac{4}{56} \times \frac{8}{5} + \frac{52}{56} \times \frac{6}{5} \\ &= \frac{1}{14} \times \frac{8}{5} + \frac{13}{14} \times \frac{6}{5} \\ &= \frac{8 + 78}{70} \\ &= \frac{86}{70} \\ &= \frac{43}{35} \end{aligned} $$

したがって、求める全体の期待値 $E$ は次のようになる。

$$ E = \frac{3}{2} + \frac{43}{35} = \frac{105 + 86}{70} = \frac{191}{70} $$

解説

確率変数の和の期待値は、各事象が独立でなくても線形性が成り立つ（$E(X+Y) = E(X)+E(Y)$）。これを理解していると、(1)のような非復元抽出の期待値問題や(3)の前半部分などを、確率分布をすべて書き出すことなく暗算レベルで求めることができる。
(3)の「できるだけ多くの赤玉を取り出そうと選択する」という問題文の要求を、「それぞれの状況下で、追加で得られる赤玉の期待値が最大になるように意思決定を行う」と数学的に正しく翻訳できるかが最大の山場である。