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大阪大学 1962年文系第2問解説

方針・初手

毎分一定の水量が湧き出る池の排水に関する問題（いわゆるニュートン算）である。満水時の水量と、各管の排水速度から湧き出し速度を引いた「実質的な排水速度」を変数として設定し、条件から方程式を立てる。

解法1

満水時の池の水量を $V$（$V > 0$）とする。

甲管、乙管が1分間に排水する水量から、1分間に池に湧き出る水量を引いた「実質的な排水速度」をそれぞれ $x, y$ とする。

甲管だけで排水するのにかかる時間を $t$ 分（$t > 0$）とすると、問題の条件から、乙管だけで排水する場合には $t+10$ 分かかる。このとき、それぞれの実質的な排水速度を用いて、全体の水量 $V$ は次のように表される。

$$V = xt$$

$$V = y(t+10)$$

また、甲管を10分間使用したのち、ただちに乙管を15分間使用して排水が完了したという条件から、以下の式が成り立つ。

$$V = 10x + 15y$$

最初の2式から $x$ と $y$ を $V$ と $t$ で表すと、以下のようになる。

$$x = \frac{V}{t}$$

$$y = \frac{V}{t+10}$$

これらを3番目の式に代入する。

$$V = 10 \cdot \frac{V}{t} + 15 \cdot \frac{V}{t+10}$$

$V > 0$ であるから、両辺を $V$ で割る。

$$1 = \frac{10}{t} + \frac{15}{t+10}$$

$t > 0$ より $t(t+10) \neq 0$ であるから、両辺に $t(t+10)$ を掛けて分母を払う。

$$t(t+10) = 10(t+10) + 15t$$

展開して整理する。

$$t^2 + 10t = 10t + 100 + 15t$$

$$t^2 - 15t - 100 = 0$$

因数分解する。

$$(t-20)(t+5) = 0$$

$t > 0$ であるから、

$$t = 20$$

解説

湧き水がある水槽の排水問題では、「各管の排水速度」と「湧き水の速度」を別々の変数としておくと文字が多くなり、処理が煩雑になりやすい。そこで、初めからそれらの差である「実質的な排水速度」を1つの変数として設定することで、湧き水のない単純な水槽の排水問題（仕事算）と全く同じ構造の方程式に帰着させることができる。