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東北大学 1967年理系第1問解説

方針・初手

全体の仕事量を $1$ とし、単位時間（1時間）あたりの仕事量に注目して立式する。

$X, Y, Z$ が単独で仕事をする際の所要時間をそれぞれ文字でおき、問題文の条件を数式に翻訳する。3つの未知数に対して3つの等式が得られるので、$Y, Z$ の所要時間を $X$ の所要時間を用いて表し、消去することで $X$ の所要時間についての方程式を導く。

解法1

全体の仕事量を $1$ とする。

$X, Y, Z$ がこの仕事を単独で行う場合の所要時間をそれぞれ $x, y, z$ とおく。所要時間であるため、$x > 0, y > 0, z > 0$ である。

1時間あたりのそれぞれの仕事量は $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ と表せる。

3人が協力すれば $a$ 時間で仕事が完了するので、全体の仕事量について以下の式が成り立つ。

$$a \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right) = 1$$

すなわち、

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{a} \quad \cdots \text{(1)}$$

また、与えられた所要時間の関係から、以下の2式が成り立つ。

$$x = py - b \quad \cdots \text{(2)}$$

$$x = qz - b \quad \cdots \text{(3)}$$

問題の条件より $p, q$ は正の数であり、$x > 0$ だから $x+b > 0$ である。(2), (3)より $y, z$ は $x$ を用いて次のように表せる。

$$y = \frac{x+b}{p} \quad \cdots \text{(4)}$$

$$z = \frac{x+b}{q} \quad \cdots \text{(5)}$$

これらを (1) に代入する。

$$\frac{1}{x} + \frac{p}{x+b} + \frac{q}{x+b} = \frac{1}{a}$$

左辺の第2項と第3項をまとめる。

$$\frac{1}{x} + \frac{p+q}{x+b} = \frac{1}{a}$$

$x > 0, x+b > 0$ より、両辺に $ax(x+b)$ を掛けて分母を払う。

$$a(x+b) + ax(p+q) = x(x+b)$$

展開して $x$ について整理する。

$$ax + ab + a(p+q)x = x^2 + bx$$

$$x^2 + \{b - a(p+q+1)\}x - ab = 0$$

この2次方程式を解の公式を用いて $x$ について解く。

$$x = \frac{a(p+q+1) - b \pm \sqrt{\{b - a(p+q+1)\}^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-ab)}}{2}$$

$$x = \frac{a(p+q+1) - b \pm \sqrt{\{a(p+q+1) - b\}^2 + 4ab}}{2}$$

ここで、問題の条件より $a, b$ は正の数であるから、方程式の定数項 $-ab < 0$ となる。したがって、この2次方程式は正の実数解と負の実数解を1つずつもつ。

$x > 0$ であるため、正の解をとる。

$$x = \frac{a(p+q+1) - b + \sqrt{\{a(p+q+1) - b\}^2 + 4ab}}{2}$$

解説

仕事算の基本原則である「全体の仕事を1とする」「単位時間あたりの仕事量で考える」に従って立式する典型的な問題である。

未知数が3つ登場するが、条件式から $y, z$ を $x$ の式として表すことができるため、$x$ のみの1変数の分数方程式に帰着させることができる。

最後に導かれる $x$ の2次方程式について、解の吟味を行う必要がある。定数項が $-ab$ であり、$a, b$ が正の数であることから定数項が負になる点に注目すれば、グラフの形（下に凸な放物線で $y$ 切片が負）から直ちに正の解と負の解を1つずつ持つことが分かり、$x > 0$ の条件を満たすものが一意に定まる。