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大阪大学 2017年文系第2問解説

方針・初手

与えられた2つの条件式 $x+y+z=1$ と $x+2y+3z=5$ から、2つの変数（例えば $x, y$）を残り1つの変数（$z$）で表すことができる。すべての式を $z$ のみで表し、$z$ の1変数関数として最大・最小を考えるのが基本方針である。

(1) では対称式の有名な因数分解公式を利用することで、計算を大きく見通しよく進めることができる。(2) では $z$ の3次関数となるため、微分を用いて増減を調べる。

解法1

与えられた2つの条件式を連立方程式とみなして、$x, y$ を $z$ で表す。

$$ \begin{cases} x+y = 1-z & \cdots \text{①} \\ x+2y = 5-3z & \cdots \text{②} \end{cases} $$

② $-$ ① より、

$$ y = 4-2z $$

これを①に代入して、

$$ x = 1-z - (4-2z) = z-3 $$

したがって、実数 $x, y$ が存在するための $z$ の条件は特になく、$z$ はすべての実数をとりうる。

(1)

式の因数分解公式と条件 $x+y+z=1$ を用いる。

$$ \begin{aligned} x^3+y^3+z^3-3xyz &= (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) \\ &= 1 \cdot \{ (x+y+z)^2 - 3(xy+yz+zx) \} \\ &= 1^2 - 3(xy+yz+zx) \\ &= 1 - 3(xy+yz+zx) \end{aligned} $$

ここで、$x = z-3, y = -2z+4$ より、

$$ \begin{aligned} xy+yz+zx &= xy+z(x+y) \\ &= (z-3)(-2z+4) + z(1-z) \\ &= -2z^2+10z-12 + z-z^2 \\ &= -3z^2+11z-12 \end{aligned} $$

これを代入すると、

$$ \begin{aligned} x^3+y^3+z^3-3xyz &= 1 - 3(-3z^2+11z-12) \\ &= 9z^2 - 33z + 37 \\ &= 9\left( z^2 - \frac{11}{3}z \right) + 37 \\ &= 9\left( z - \frac{11}{6} \right)^2 - 9 \cdot \frac{121}{36} + 37 \\ &= 9\left( z - \frac{11}{6} \right)^2 - \frac{121}{4} + \frac{148}{4} \\ &= 9\left( z - \frac{11}{6} \right)^2 + \frac{27}{4} \end{aligned} $$

$z$ はすべての実数をとりうるので、求める最小値は $z = \frac{11}{6}$ のとき $\frac{27}{4}$ である。

(2)

$xyz$ を $z$ の関数 $f(z)$ とおく。

$$ \begin{aligned} f(z) &= (z-3)(-2z+4)z \\ &= -2z^3 + 10z^2 - 12z \end{aligned} $$

$z$ について微分すると、

$$ \begin{aligned} f'(z) &= -6z^2 + 20z - 12 \\ &= -2(3z^2 - 10z + 6) \end{aligned} $$

$f'(z) = 0$ とすると、

$$ z = \frac{5 \pm \sqrt{25-18}}{3} = \frac{5 \pm \sqrt{7}}{3} $$

ここで、$2 < \sqrt{7} < 3$ であるから、$\frac{5 - \sqrt{7}}{3} > \frac{5 - 3}{3} > 0$ であり、$f'(z)=0$ となる $z$ はどちらも正である。

$z \geqq 0$ における $f(z)$ の増減表は次のようになる。

$z$	$0$	$\cdots$	$\frac{5-\sqrt{7}}{3}$	$\cdots$	$\frac{5+\sqrt{7}}{3}$	$\cdots$
$f'(z)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(z)$	$0$	$\searrow$	極小	$\nearrow$	極大	$\searrow$

増減表から、$z \geqq 0$ の範囲において最大値の候補は $z=0$ のときと $z=\frac{5+\sqrt{7}}{3}$ のときである。

$f(0) = 0$ である。

一方、$z = \frac{5+\sqrt{7}}{3}$ のとき、$2 < \sqrt{7} < 3$ より $2 < z < \frac{8}{3}$ となる。

$f(z) = -2z(z-2)(z-3)$ について、この範囲では $z > 0$, $z-2 > 0$, $z-3 < 0$ であるから、

$$ f\left(\frac{5+\sqrt{7}}{3}\right) > 0 $$

したがって、$f(0) < f\left(\frac{5+\sqrt{7}}{3}\right)$ となるため、$f(z)$ が最大となる $z$ の値は $z = \frac{5+\sqrt{7}}{3}$ である。

解法2

(1)の別解

$x=z-3, y=-2z+4$ と表すところまでは解法1と同様とする。

$x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$ において、後半の括弧内を次のように変形して代入する。

$$ x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx = \frac{1}{2} \{ (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \} $$

各項の差を計算すると、

$$ x-y = (z-3) - (-2z+4) = 3z-7 $$

$$ y-z = (-2z+4) - z = -3z+4 $$

$$ z-x = z - (z-3) = 3 $$

これらを代入して整理する。

$$ \begin{aligned} x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx &= \frac{1}{2} \{ (3z-7)^2 + (-3z+4)^2 + 3^2 \} \\ &= \frac{1}{2} \{ (9z^2-42z+49) + (9z^2-24z+16) + 9 \} \\ &= \frac{1}{2} (18z^2 - 66z + 74) \\ &= 9z^2 - 33z + 37 \end{aligned} $$

これに $x+y+z=1$ を掛け合わせると、

$$ x^3+y^3+z^3-3xyz = 1 \cdot (9z^2 - 33z + 37) = 9z^2 - 33z + 37 $$

以下、解法1と同様に平方完成して最小値を求める。