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大阪大学 2021年文系第3問解説

方針・初手

条件（＊）は積分区間に変数や定数が含まれる定積分の等式である。まずはこの定積分を計算し、等式を整理して $a, b, c$ の関係式を導出する。因数分解を利用して式を積の形に整理し、整数問題の定石に持ち込む。

解法1

(1) 与えられた等式（＊）の定積分をそれぞれ計算する。

$$ \int_a^c (x^2 + bx) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 \right]_a^c = \frac{1}{3}c^3 + \frac{b}{2}c^2 - \frac{1}{3}a^3 - \frac{b}{2}a^2 $$

$$ \int_b^c (x^2 + ax) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 + \frac{a}{2}x^2 \right]_b^c = \frac{1}{3}c^3 + \frac{a}{2}c^2 - \frac{1}{3}b^3 - \frac{a}{2}b^2 $$

これらを（＊）に代入し、両辺から $\frac{1}{3}c^3$ を消去する。

$$ \frac{b}{2}c^2 - \frac{1}{3}a^3 - \frac{b}{2}a^2 = \frac{a}{2}c^2 - \frac{1}{3}b^3 - \frac{a}{2}b^2 $$

両辺を6倍して整理する。

$$ 3bc^2 - 2a^3 - 3a^2b = 3ac^2 - 2b^3 - 3ab^2 $$

$c^2$ について解くため、項を移項してまとめる。

$$ 3(b - a)c^2 = 2(a^3 - b^3) + 3ab(a - b) $$

右辺を因数分解する。$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ を用いると、

$$ \begin{aligned} 3(b - a)c^2 &= -2(b - a)(a^2 + ab + b^2) - 3ab(b - a) \\ &= -(b - a) \{ 2(a^2 + ab + b^2) + 3ab \} \\ &= -(b - a)(2a^2 + 5ab + 2b^2) \\ &= -(b - a)(2a + b)(a + 2b) \end{aligned} $$

条件より $a \neq b$ すなわち $b - a \neq 0$ であるから、両辺を $b - a$ で割る。

$$ 3c^2 = -(2a + b)(a + 2b) $$

$$ c^2 = -\frac{(2a + b)(a + 2b)}{3} $$

(2) $c = 3$ のとき、$c^2 = 9$ であるから、(1) で求めた式に代入する。

$$ 9 = -\frac{(2a + b)(a + 2b)}{3} $$

$$ (2a + b)(a + 2b) = -27 $$

$a, b$ は整数なので、$2a + b, a + 2b$ も整数である。ここで、$X = 2a + b, Y = a + 2b$ とおく。

$Y - X = (a + 2b) - (2a + b) = b - a$ 条件より $a < b$ なので、$b - a > 0$ であり、$X < Y$ である。

かけて $-27$ となり、$X < Y$ をみたす整数の組 $(X, Y)$ は以下の4通り考えられる。 $(-27, 1), (-9, 3), (-3, 9), (-1, 27)$

一方で、$X, Y$ から $a, b$ を求める関係式を導く。 $2X - Y = 2(2a + b) - (a + 2b) = 3a$ より、$a = \frac{2X - Y}{3}$ $2Y - X = 2(a + 2b) - (2a + b) = 3b$ より、$b = \frac{2Y - X}{3}$ $a, b$ は整数であるから、$2X - Y$ は3の倍数でなければならない。

各 $(X, Y)$ について条件を満たすか確認する。

(i)

$(X, Y) = (-27, 1)$ のとき $2X - Y = -54 - 1 = -55$ （3の倍数でないので不適）

(ii)

$(X, Y) = (-9, 3)$ のとき $2X - Y = -18 - 3 = -21$ （3の倍数であり適する）このとき、$a = \frac{-21}{3} = -7$ $b = \frac{2 \cdot 3 - (-9)}{3} = \frac{15}{3} = 5$

(iii)

$(X, Y) = (-3, 9)$ のとき $2X - Y = -6 - 9 = -15$ （3の倍数であり適する）このとき、$a = \frac{-15}{3} = -5$ $b = \frac{2 \cdot 9 - (-3)}{3} = \frac{21}{3} = 7$

(iv)

$(X, Y) = (-1, 27)$ のとき $2X - Y = -2 - 27 = -29$ （3の倍数でないので不適）

以上より、求める整数の組は $(a, b) = (-7, 5), (-5, 7)$ である。

(3) (1)より、$3c^2 = -(2a + b)(a + 2b)$ が成り立つ。

(2)と同様に $X = 2a + b, Y = a + 2b$ とおくと、$3c^2 = -XY$ である。ここで、$X + Y = 3a + 3b = 3(a + b)$ であり、$a, b$ は整数なので $X + Y$ は3の倍数である。すなわち、$Y \equiv -X \pmod{3}$ が成り立つ。

これを $3c^2 = -XY$ に適用して3を法とする合同式を考えると、

$$ -X(-X) \equiv 0 \pmod{3} $$

$$ X^2 \equiv 0 \pmod{3} $$

3は素数であるから、$X^2$ が3の倍数ならば、$X$ も3の倍数である。 $X$ が3の倍数のとき、$X + Y = 3(a + b)$ より $Y$ も3の倍数となる。

したがって、整数 $x, y$ を用いて $X = 3x, Y = 3y$ と表すことができる。これらを $3c^2 = -XY$ に代入すると、

$$ 3c^2 = -(3x)(3y) = -9xy $$

両辺を3で割ると、

$$ c^2 = -3xy $$

$x, y$ は整数なので、$-3xy$ は3の倍数である。すなわち、$c^2$ は3の倍数となる。 3は素数であるから、$c^2$ が3の倍数ならば、$c$ も3の倍数である。（証明終）

解説

定積分の計算からスタートし、徐々に整数問題の論証へと移行する標準的な融合問題である。 (1)で適切に因数分解を行い、(2)でそれを活用して候補を絞り込む流れは、入試における整数問題の典型的なパターンと言える。 $a, b$ を $2a + b$ と $a + 2b$ の塊として捉え直すことで、(2)の絞り込みや(3)の証明の見通しが格段に良くなる。合同式や「素数 $p$ について、$n^2$ が $p$ の倍数ならば $n$ も $p$ の倍数である」という基礎的な性質を効果的に用いることがポイントとなる。