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大阪大学 2021年文系第2問解説

方針・初手

$\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$ を基準のベクトルとして、各点の位置ベクトルを立式する。 (1) では、4点 $A_0, B_0, P, Q$ が同一平面上にあるという「共面条件」を、ベクトルの1次独立性を利用して処理する。 (2) では、与えられた辺の長さと角度から内積を求め、$\angle POQ = 90^\circ$ すなわち $\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = 0$ の条件式を立てる。

解法1

$\vec{a} = \vec{OA}, \vec{b} = \vec{OB}, \vec{c} = \vec{OC}$ とおく。4点 $O, A, B, C$ は同一平面上にないため、$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ は1次独立である。

問題の条件より、各点の位置ベクトルは以下のように表せる。

$$ \vec{OA_0} = \frac{1}{2}\vec{a} $$

$$ \vec{OB_0} = \frac{1}{3}\vec{b} $$

$$ \vec{OP} = (1-s)\vec{a} + s\vec{c} $$

$$ \vec{OQ} = (1-t)\vec{b} + t\vec{c} $$

(1)

4点 $A_0, B_0, P, Q$ は同一平面上にあるため、実数 $p, q$ を用いて次のように表すことができる。

$$ \vec{A_0 Q} = p\vec{A_0 B_0} + q\vec{A_0 P} $$

これを始点 $O$ のベクトルで書き換えると、

$$ \vec{OQ} - \vec{OA_0} = p(\vec{OB_0} - \vec{OA_0}) + q(\vec{OP} - \vec{OA_0}) $$

それぞれに位置ベクトルを代入して整理する。

$$ \begin{aligned} (1-t)\vec{b} + t\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{a} &= p\left(\frac{1}{3}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}\right) + q\left((1-s)\vec{a} + s\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{a}\right) \\ &= p\left(-\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}\right) + q\left(\left(\frac{1}{2}-s\right)\vec{a} + s\vec{c}\right) \\ &= \left(-\frac{1}{2}p + \left(\frac{1}{2}-s\right)q\right)\vec{a} + \frac{1}{3}p\vec{b} + sq\vec{c} \end{aligned} $$

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ は1次独立であるから、両辺の係数を比較して以下の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} -\frac{1}{2} = -\frac{1}{2}p + \left(\frac{1}{2}-s\right)q & \cdots \text{①} \\ 1-t = \frac{1}{3}p & \cdots \text{②} \\ t = sq & \cdots \text{③} \end{cases} $$

$0<s<1$ より $s \neq 0$ であるから、③より $q = \frac{t}{s}$ となる。また、②より $p = 3(1-t)$ である。これらを①に代入する。

$$ \begin{aligned} -\frac{1}{2} &= -\frac{1}{2} \cdot 3(1-t) + \left(\frac{1}{2}-s\right)\frac{t}{s} \\ -\frac{1}{2} &= -\frac{3}{2} + \frac{3}{2}t + \frac{t}{2s} - t \\ 1 &= \frac{1}{2}t + \frac{t}{2s} \end{aligned} $$

両辺に $2s$ をかけると、

$$ \begin{aligned} 2s &= st + t \\ t(s+1) &= 2s \end{aligned} $$

$s>0$ より $s+1 \neq 0$ であるから、両辺を $s+1$ で割って $t$ について解く。

$$ t = \frac{2s}{s+1} $$

(2)

与えられた条件から、ベクトルの大きさおよび内積を求める。

$$ |\vec{a}|=1, \quad |\vec{b}|=2, \quad |\vec{c}|=2 $$

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos 120^\circ = 1 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1 $$

$$ \vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}|\cos 90^\circ = 2 \cdot 2 \cdot 0 = 0 $$

$$ \vec{c} \cdot \vec{a} = |\vec{c}||\vec{a}|\cos 60^\circ = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1 $$

$\angle POQ = 90^\circ$ より $\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = 0$ であるから、位置ベクトルを代入して展開する。

$$ \begin{aligned} \vec{OP} \cdot \vec{OQ} &= \{(1-s)\vec{a} + s\vec{c}\} \cdot \{(1-t)\vec{b} + t\vec{c}\} \\ &= (1-s)(1-t)\vec{a}\cdot\vec{b} + (1-s)t\vec{a}\cdot\vec{c} + s(1-t)\vec{b}\cdot\vec{c} + st|\vec{c}|^2 \\ &= (1-s)(1-t)(-1) + (1-s)t(1) + s(1-t)(0) + st(2^2) \\ &= - (1 - s - t + st) + (t - st) + 4st \\ &= -1 + s + t - st + t - st + 4st \\ &= 2st + s + 2t - 1 \\ &= 0 \end{aligned} $$

これに (1) で求めた $t = \frac{2s}{s+1}$ を代入する。

$$ 2s\left(\frac{2s}{s+1}\right) + s + 2\left(\frac{2s}{s+1}\right) - 1 = 0 $$

両辺に $s+1$ をかける。

$$ \begin{aligned} 4s^2 + s(s+1) + 4s - (s+1) &= 0 \\ 4s^2 + s^2 + s + 4s - s - 1 &= 0 \\ 5s^2 + 4s - 1 &= 0 \\ (5s-1)(s+1) &= 0 \end{aligned} $$

$0<s<1$ より $s+1 > 0$ であるから、

$$ 5s - 1 = 0 \iff s = \frac{1}{5} $$

このとき $t = \frac{2/5}{1/5+1} = \frac{1}{3}$ となり、$0<t<1$ をみたす。

解説

空間ベクトルにおける点の位置決定と図形的条件の処理を問う標準的な問題である。

(1) の共面条件は $\vec{OQ} = \alpha \vec{OA_0} + \beta \vec{OB_0} + \gamma \vec{OP}$ かつ $\alpha + \beta + \gamma = 1$ と立式することも可能だが、$\vec{A_0 Q} = p\vec{A_0 B_0} + q\vec{A_0 P}$ のようにいずれかの点を始点として立式した方が、未定係数が1つ減るため計算の見通しが良い。

(2) は内積の基本計算である。$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ の内積をあらかじめ求めておくことで、展開後の式に代入するだけで $s, t$ の関係式が導かれる。最後は (1) の結果を利用して1文字消去を行う典型的な流れである。