トップ› 大阪大学› 2013年› 理系第4問

大阪大学 2013年理系第4問解説

方針・初手

空間図形を回転させた立体の体積を求める問題である。まずは、$x$ 軸まわりに回転させてできる円すい $V$ の領域を、$x, y, z$ の不等式で表す。

次に、この円すい $V$ を $y$ 軸まわりに回転させた立体の体積を求めるため、回転軸である $y$ 軸に垂直な平面 $y=t$ で立体を切断する。回転体の平面 $y=t$ における切り口は、円すい $V$ の平面 $y=t$ における断面上の点について、原点からの距離の2乗 $x^2+z^2$ の最大値と最小値を調べることで決定できる。

あるいは、点 $(x, y, z)$ が回転後の立体に含まれるための条件を、同値変形によって直接求める方法も有効である。

解法1

$xy$ 平面上の三角形 $OAB$ は、頂点が $O(0,0,0)$、 $A(1,0,0)$、 $B(1,1,0)$ であり、その周および内部は

$$ 0 \le x \le 1, \quad 0 \le y \le x, \quad z=0 $$

で表される領域である。これを $x$ 軸のまわりに回転させてできる円すい $V$ は、各 $x \in [0, 1]$ において $yz$ 平面に平行な断面が半径 $x$ の円となるため、次の不等式で表される。

$$ y^2 + z^2 \le x^2, \quad 0 \le x \le 1 $$

この円すい $V$ を $y$ 軸のまわりに回転させた立体を $W$ とし、その体積を求める。立体 $W$ を $y$ 軸に垂直な平面 $y=t$ で切断し、その断面積 $S(t)$ を求める。円すい $V$ を平面 $y=t$ で切断したときの断面 $D_t$ は、

$$ t^2 + z^2 \le x^2, \quad 0 \le x \le 1 $$

で表される。実数 $x, z$ が存在するためには $x^2 \ge t^2$ すなわち $x \ge |t|$ であり、$x \le 1$ より $-1 \le t \le 1$ である。

断面 $D_t$ の点を $y$ 軸のまわりに回転させると、$xz$ 平面上における原点からの距離 $r = \sqrt{x^2+z^2}$ を半径とする円を描く。したがって、回転後の平面 $y=t$ における切り口は、$r^2 = x^2+z^2$ の最大値と最小値によって定まる円環領域となる。

断面 $D_t$ における $r^2$ の最大値と最小値を調べる。

$$ r^2 = x^2 + z^2 $$

不等式 $z^2 \le x^2 - t^2$ を用いると、

$$ r^2 = x^2 + z^2 \le x^2 + (x^2 - t^2) = 2x^2 - t^2 $$

$0 \le x \le 1$ より $x^2 \le 1$ であるから、

$$ 2x^2 - t^2 \le 2 - t^2 $$

等号は、$x=1$ かつ $z^2 = 1 - t^2$ のときに成立する。$-1 \le t \le 1$ のもとでこのような実数 $z$ は存在し、この点は $D_t$ 内にある。よって $r^2$ の最大値は $2 - t^2$ である。

一方、$z^2 \ge 0$ であるから、

$$ r^2 = x^2 + z^2 \ge x^2 $$

不等式 $t^2 + z^2 \le x^2$ より $x^2 \ge t^2$ であるから、

$$ r^2 \ge t^2 $$

等号は、$z=0$ かつ $x=|t|$ のときに成立する。この点も $D_t$ 内にある。よって $r^2$ の最小値は $t^2$ である。

以上より、平面 $y=t$ における立体 $W$ の切り口は、半径 $|t|$ の円の外部かつ半径 $\sqrt{2-t^2}$ の円の内部であり、その断面積 $S(t)$ は、

$$ S(t) = \pi (2 - t^2) - \pi t^2 = 2\pi (1 - t^2) $$

となる。

したがって、求める立体 $W$ の体積は、

$$ \begin{aligned} \int_{-1}^1 S(t) dt &= \int_{-1}^1 2\pi (1 - t^2) dt \\ &= 2\pi \left[ t - \frac{t^3}{3} \right]_{-1}^1 \\ &= 2\pi \left( \frac{2}{3} - \left( -\frac{2}{3} \right) \right) \\ &= \frac{8}{3}\pi \end{aligned} $$

である。