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大阪大学 2017年理系第5問解説

方針・初手

空間座標 $(x,y,z)$ を設定し、立体 $L$ と立体 $M$ が満たすべき不等式を立式する。 $y$ 軸まわりの回転体 $L$ の条件、および「$xy$ 平面上の直線 $x=1$」からの距離が1以下であるという条件から、立体 $M$ の満たす不等式を $(x,y,z)$ を用いて表す。その後、$y=t$ という平面で切断したときの断面を $(x,z)$ 平面上の図形として捉え、その面積 $S(t)$ を求める。面積計算においては、図形の対称性を利用し、円の交点と中心を結んだ扇形や弓形に分割して考える。

解法1

(1)

空間座標 $(x,y,z)$ において、$y$ 軸まわりの回転体 $L$ は、放物線 $y=x^2$ を回転させたものであるから、不等式 $x^2+z^2 \leqq y \leqq 2$ で表される。また、「$xy$ 平面上の直線 $x=1$」は空間においては直線 $x=1, z=0$ を表す。空間内の点 $(x,y,z)$ とこの直線の距離は $\sqrt{(x-1)^2+z^2}$ である。立体 $M$ はこの距離が1以下の点の集合であるから、$(x-1)^2+z^2 \leqq 1$ を満たす。

平面 $y=t$ ($0 \leqq t \leqq 2$) による $M$ の切り口は、$(x,z)$ 平面上で次の2つの不等式を満たす領域である。

$$ x^2+z^2 \leqq t $$

$$ (x-1)^2+z^2 \leqq 1 $$

境界となる2つの円をそれぞれ $C_1, C_2$ とおく。 $C_1$ は原点 $\mathrm{O}(0,0)$ を中心とする半径 $\sqrt{t}$ の円、$C_2$ は点 $\mathrm{A}(1,0)$ を中心とする半径1の円である。 $t = (2\cos\theta)^2$ と表されているので、$C_1$ の半径は $2\cos\theta$ である。（$\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ より $\cos\theta \geqq 0$）

$C_1$ と $C_2$ の交点の座標を求める。連立方程式

$$ \begin{cases} x^2+z^2 = 4\cos^2\theta \\ (x-1)^2+z^2 = 1 \end{cases} $$

を解くと、$x^2 - (x-1)^2 = 4\cos^2\theta - 1$ より $2x - 1 = 4\cos^2\theta - 1$、すなわち $x = 2\cos^2\theta$ を得る。これを $C_1$ の式に代入して、

$$ \begin{aligned} z^2 &= 4\cos^2\theta - (2\cos^2\theta)^2 \\ &= 4\cos^2\theta(1 - \cos^2\theta) \\ &= 4\cos^2\theta\sin^2\theta \end{aligned} $$

$z \geqq 0$ の交点を $\mathrm{P}$ とすると、$\cos\theta \geqq 0, \sin\theta \geqq 0$ より $\mathrm{P}(2\cos^2\theta, 2\cos\theta\sin\theta)$ となる。交点 $\mathrm{P}$ について、原点 $\mathrm{O}$ を極とする極座標を考えると、原点からの距離は $2\cos\theta$ であり、動径 $\mathrm{OP}$ が $x$ 軸の正の向きと成す角 $\alpha$ は

$$ \cos\alpha = \frac{2\cos^2\theta}{2\cos\theta} = \cos\theta $$

より、$\alpha = \theta$ である。一方、円 $C_2$ の中心 $\mathrm{A}(1,0)$ から $\mathrm{P}$ に向かうベクトルは

$$ \overrightarrow{\mathrm{AP}} = (2\cos^2\theta - 1, 2\cos\theta\sin\theta) = (\cos 2\theta, \sin 2\theta) $$

であるから、$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ が $x$ 軸の正の向きと成す角は $2\theta$ である。

切り口の図形は $x$ 軸に関して対称であるため、上半分の面積を求め、2倍すればよい。上半分（$z \geqq 0$）の領域は、線分 $\mathrm{OP}$ によって次の2つの部分に分けられる。 ① 扇形 $\mathrm{O}$ （中心 $\mathrm{O}$、半径 $2\cos\theta$、中心角 $\theta$） ② 弦 $\mathrm{OP}$ と円 $C_2$ の弧 $\mathrm{OP}$ で囲まれた弓形

①の面積は、

$$ \frac{1}{2} (2\cos\theta)^2 \theta = 2\theta\cos^2\theta $$

②について、円 $C_2$ 上の点 $\mathrm{O}(0,0)$ へのベクトル $\overrightarrow{\mathrm{AO}}$ の偏角は $\pi$ であり、$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ の偏角は $2\theta$ である。したがって、弧 $\mathrm{OP}$ に対する $C_2$ の中心角は $\pi - 2\theta$ となる。この弓形の面積は、中心角 $\pi - 2\theta$ の扇形の面積から三角形 $\mathrm{AOP}$ の面積を引いたものであるから、

$$ \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot (\pi - 2\theta) - \frac{1}{2} \cdot 1^2 \sin(\pi - 2\theta) = \frac{\pi}{2} - \theta - \frac{1}{2}\sin 2\theta $$

これらを足し合わせて2倍することで $S(t)$ が求まる。

$$ \begin{aligned} S(t) &= 2 \left( 2\theta\cos^2\theta + \frac{\pi}{2} - \theta - \frac{1}{2}\sin 2\theta \right) \\ &= 4\theta\cos^2\theta + \pi - 2\theta - \sin 2\theta \\ &= 2\theta(2\cos^2\theta - 1) - \sin 2\theta + \pi \\ &= 2\theta\cos 2\theta - \sin 2\theta + \pi \end{aligned} $$

(2)

立体 $M$ の体積 $V$ は、$S(t)$ を $t$ について $0$ から $2$ まで積分して得られる。 $t = 4\cos^2\theta = 2(1+\cos 2\theta)$ より、$dt = -4\sin 2\theta d\theta$ である。 $t$ が $0$ から $2$ まで変化するとき、$\theta$ は $\frac{\pi}{2}$ から $\frac{\pi}{4}$ まで変化する。

$$ \begin{aligned} V &= \int_{0}^{2} S(t) dt \\ &= \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}} (2\theta\cos 2\theta - \sin 2\theta + \pi) (-4\sin 2\theta) d\theta \\ &= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (8\theta\sin 2\theta\cos 2\theta - 4\sin^2 2\theta + 4\pi\sin 2\theta) d\theta \\ &= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \{ 4\theta\sin 4\theta - 2(1 - \cos 4\theta) + 4\pi\sin 2\theta \} d\theta \end{aligned} $$

各項をそれぞれ積分する。第1項は部分積分を用いる。

$$ \begin{aligned} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} 4\theta\sin 4\theta d\theta &= \left[ -\theta\cos 4\theta \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (-\cos 4\theta) d\theta \\ &= \left( -\frac{\pi}{2} \cdot 1 - \left(-\frac{\pi}{4} \cdot (-1) \right) \right) + \left[ \frac{1}{4}\sin 4\theta \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= -\frac{3\pi}{4} + 0 = -\frac{3\pi}{4} \end{aligned} $$

第2項の積分は、

$$ \begin{aligned} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \{ -2(1 - \cos 4\theta) \} d\theta &= \left[ -2\theta + \frac{1}{2}\sin 4\theta \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= (-\pi + 0) - \left(-\frac{\pi}{2} + 0\right) = -\frac{\pi}{2} \end{aligned} $$

第3項の積分は、

$$ \begin{aligned} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} 4\pi\sin 2\theta d\theta &= \left[ -2\pi\cos 2\theta \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= -2\pi(-1) - (-2\pi \cdot 0) = 2\pi \end{aligned} $$

以上より、求める体積 $V$ は

$$ V = -\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{3\pi}{4} $$

解法2

(1)

（極方程式を用いた面積の導出）断面における2つの円の不等式は、

$$ x^2+z^2 \leqq (2\cos\theta)^2 $$

$$ (x-1)^2+z^2 \leqq 1 $$

である。$(x,z)$ 平面上で極座標 $(r, \varphi)$ を $x = r\cos\varphi, z = r\sin\varphi$ によって導入する。円 $C_1$ は $r = 2\cos\theta$、円 $C_2$ は $r = 2\cos\varphi$ と表せる。交点の偏角は、$2\cos\theta = 2\cos\varphi$ より $\varphi = \pm \theta$ である。求める面積 $S(t)$ は $x$ 軸対称であるから、上半分（$0 \leqq \varphi \leqq \frac{\pi}{2}$）の面積を求めて2倍する。

積分範囲を境界が切り替わる $\varphi = \theta$ で分割する。 $0 \leqq \varphi \leqq \theta$ においては $C_1$ が境界となり、$\theta \leqq \varphi \leqq \frac{\pi}{2}$ においては $C_2$ が境界となる。極方程式の面積公式により、上半分の面積は

$$ \begin{aligned} \int_{0}^{\theta} \frac{1}{2}(2\cos\theta)^2 d\varphi + \int_{\theta}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}(2\cos\varphi)^2 d\varphi &= \int_{0}^{\theta} 2\cos^2\theta d\varphi + \int_{\theta}^{\frac{\pi}{2}} 2\cos^2\varphi d\varphi \\ &= \left[ 2\varphi\cos^2\theta \right]_{0}^{\theta} + \int_{\theta}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2\varphi) d\varphi \\ &= 2\theta\cos^2\theta + \left[ \varphi + \frac{1}{2}\sin 2\varphi \right]_{\theta}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= 2\theta\cos^2\theta + \frac{\pi}{2} - \theta - \frac{1}{2}\sin 2\theta \\ &= \theta(2\cos^2\theta - 1) - \frac{1}{2}\sin 2\theta + \frac{\pi}{2} \\ &= \theta\cos 2\theta - \frac{1}{2}\sin 2\theta + \frac{\pi}{2} \end{aligned} $$

したがって、全体面積 $S(t)$ はこれを2倍して

$$ S(t) = 2\theta\cos 2\theta - \sin 2\theta + \pi $$

※ (2) の体積計算は解法1と同様である。

解説

立体 $M$ の切り口を数式として正確に立式できるかが第一関門である。「直線 $x=1$ からの距離」が3次元空間内での点と直線の距離であることに注意して式を立てる。 (1) の面積計算では、円の交点の座標を求め、扇形と弓形に切り分けて面積を足し合わせる幾何的な解法（解法1）と、極方程式を用いて積分する解法（解法2）がある。極方程式の面積公式 $S = \int \frac{1}{2}r^2 d\theta$ は、原点を通る円や原点を中心とする円の共通部分の面積を求める際に非常に見通しが良く、強力な手法となる。 (2) の体積計算は標準的な三角関数の積分である。半角の公式や2倍角の公式を用いて次数を下げ、多項式と三角関数の積の部分は部分積分を慎重に実行することが求められる。