大阪大学 1982年 理系 第3問 解説

方針・初手

球の中心を $(p,q,r)$、半径を $R$ とおく。 問題は「球が $yz$ 平面に接する」ことと、「$xz$ 平面による切り口が、$xz$ 平面上の三角形 $OAB$ の内接円である」ことを結びつける問題である。

$yz$ 平面は $x=0$、$xz$ 平面は $y=0$ であるから、球の中心から $yz$ 平面までの距離は $|p|$、また $xz$ 平面で切った円の中心は $(p,r)$ になる。 したがって、まず $xz$ 平面上の三角形 $O(0,0), A(1,\sqrt3), B(4,0)$ の内心と内接円半径を求めればよい。

解法1

求める球の中心を $C(p,q,r)$、半径を $R$ とする。 球が $yz$ 平面、すなわち平面 $x=0$ に接するので、

$$ R=|p| $$

である。

また、球を $xz$ 平面、すなわち $y=0$ で切ると、

$$ (x-p)^2+q^2+(z-r)^2=R^2 $$

より、

$$ (x-p)^2+(z-r)^2=R^2-q^2 $$

となる。 したがって、切り口の円は $xz$ 平面上で中心 $(p,r)$、半径 $\sqrt{R^2-q^2}$ の円である。

次に、$xz$ 平面上の三角形

$$ O(0,0),\quad A(1,\sqrt3),\quad B(4,0) $$

の内接円を求める。 辺の長さは

$$ OA=2,\quad OB=4,\quad AB=2\sqrt3 $$

であり、面積は底辺 $OB=4$、高さ $\sqrt3$ より

$$ S=\frac12\cdot 4\cdot \sqrt3=2\sqrt3 $$

である。 内接円の半径を $\rho$ とすると、

$$ S=\frac12 \rho(OA+OB+AB) $$

だから、

$$ 2\sqrt3=\frac12\rho(2+4+2\sqrt3)=\rho(3+\sqrt3) $$

より

$$ \rho=\frac{2\sqrt3}{3+\sqrt3}=\sqrt3-1 $$

である。

内心の座標を求める。 内接円は辺 $OB$、すなわち $z=0$ に接し、三角形は $z\geqq 0$ 側にあるので、内心の $z$ 座標は

$$ \rho=\sqrt3-1 $$

である。 また、辺 $OB$ 上の接点を $H$ とすると、接線の長さの性質より

$$ OH=\frac{OA+OB-AB}{2} =\frac{2+4-2\sqrt3}{2} =3-\sqrt3 $$

となる。 よって内心の $x$ 座標は $3-\sqrt3$ であり、切り口の円の中心は

$$ (3-\sqrt3,\ \sqrt3-1) $$

である。

したがって、球の中心 $C(p,q,r)$ について

$$ p=3-\sqrt3,\qquad r=\sqrt3-1 $$

が成り立つ。 また $p>0$ なので、球の半径は

$$ R=|p|=3-\sqrt3 $$

である。

切り口の円の半径が $\rho=\sqrt3-1$ であることから、

$$ R^2-q^2=\rho^2 $$

すなわち

$$ q^2=R^2-\rho^2 =(3-\sqrt3)^2-(\sqrt3-1)^2 $$

である。 これを計算すると、

$$ q^2=(12-6\sqrt3)-(4-2\sqrt3)=8-4\sqrt3 $$

であり、

$$ 8-4\sqrt3=(\sqrt6-\sqrt2)^2 $$

だから、

$$ q=\pm(\sqrt6-\sqrt2) $$

となる。

以上より、求める球は

$$ \text{中心 }(3-\sqrt3,\ \pm(\sqrt6-\sqrt2),\ \sqrt3-1), \quad \text{半径 }3-\sqrt3 $$

である。

解説

この問題では、どの平面で切っているかを正確に読むことが重要である。 $yz$ 平面に接する条件から半径は中心の $x$ 座標の絶対値で決まり、$xz$ 平面で切った円は中心の $(x,z)$ 成分をもつ円になる。

したがって、平面図形として求める内心は $xz$ 平面上の座標 $(x,z)$ であり、最後に残る自由な符号は中心の $y$ 座標に現れる。 ここを $xy$ 平面の切り口として扱うと、第2座標と第3座標が入れ替わってしまう。

答え

中心

$$ (3-\sqrt3,\ \pm(\sqrt6-\sqrt2),\ \sqrt3-1) $$

半径

$$ 3-\sqrt3 $$