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九州大学 1988年理系第3問解説

方針・初手

(1) は差をとって符号を調べる基本的な方針で進める。(a) を示し、その過程で得られる式を利用して (b) の不等式を導く。

(2) は「すべての自然数 $n$ に対し」という条件から、数学的帰納法の利用が自然である。(1)(a) の結果を帰納法のステップで活用する。

(3) は漸化式で定まる数列の極限の典型問題である。一般項を直接求めることが難しいため、(1)(b) の不等式を用いて公比が $1$ より小さい等比数列で上から押さえ、はさみうちの原理を用いる。

解法1

(1) (a) を示す。

$$f(x) - x = (x - \alpha)(x - \beta)$$

$0 < x < \alpha < \beta$ より、$x - \alpha < 0$ かつ $x - \beta < 0$ であるから、$(x - \alpha)(x - \beta) > 0$ となる。

よって、$f(x) > x$ が成り立つ。

次に、$\alpha - f(x)$ を計算する。

$$\begin{aligned} \alpha - f(x) &= \alpha - \{x + (x - \alpha)(x - \beta)\} \\ &= (\alpha - x) - (x - \alpha)(x - \beta) \\ &= (\alpha - x) + (\alpha - x)(x - \beta) \\ &= (\alpha - x)(1 + x - \beta) \end{aligned}$$

$0 < x < \alpha < \beta < 1$ より、$\alpha - x > 0$ である。また、$x > 0$ かつ $1 - \beta > 0$ であるから、$1 + x - \beta > 0$ となる。

これより $\alpha - f(x) > 0$ であり、$f(x) < \alpha$ が成り立つ。

以上より、$x < f(x) < \alpha$ が示された。

(1) (b) を示す。

(a) の計算過程より、$\alpha - f(x) = (\alpha - x)(1 + x - \beta)$ である。

$0 < x < \alpha$ において $\alpha - x > 0$ であるから、両辺を $\alpha - x$ で割ると次式を得る。

$$\frac{\alpha - f(x)}{\alpha - x} = 1 + x - \beta$$

ここで、$x < \alpha$ であるから、両辺に $1 - \beta$ を加えると $1 + x - \beta < 1 + \alpha - \beta$ が成り立つ。

したがって、以下の不等式が示された。

$$\frac{\alpha - f(x)}{\alpha - x} < 1 + \alpha - \beta$$

(2) すべての自然数 $n$ に対して $0 < x_n < \alpha$ であることを、数学的帰納法を用いて示す。

(i) $n = 1$ のとき

$x_1 = \alpha \beta$ である。

$0 < \alpha < 1$ かつ $0 < \beta < 1$ より、$x_1 = \alpha \beta > 0$ である。

また、$\beta < 1$ より、両辺に $\alpha$ ($\alpha > 0$) を掛けると $\alpha \beta < \alpha$ すなわち $x_1 < \alpha$ となる。

よって、$0 < x_1 < \alpha$ が成り立ち、$n = 1$ のときは成立する。

(ii) $n = k$ ($k$ は自然数) のとき成り立つと仮定する。

すなわち、$0 < x_k < \alpha$ と仮定する。

$n = k + 1$ のとき、$x_{k+1} = f(x_k)$ である。

仮定 $0 < x_k < \alpha$ より、(1)(a) の結果を用いることができ、$x_k < f(x_k) < \alpha$ が成り立つ。

$0 < x_k$ であることと併せると、$0 < f(x_k) < \alpha$ すなわち $0 < x_{k+1} < \alpha$ となる。

よって、$n = k + 1$ のときも成立する。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ に対し、$0 < x_n < \alpha$ であることが示された。

(3) $\lim_{n \to \infty} (\alpha - x_n) = 0$ を示す。

(2) より、すべての自然数 $n$ に対して $0 < x_n < \alpha$ である。

したがって、(1)(b) の結果の $x$ に $x_n$ を代入することができ、次の不等式が成り立つ。

$$\frac{\alpha - f(x_n)}{\alpha - x_n} < 1 + \alpha - \beta$$

$x_{n+1} = f(x_n)$ であり、$\alpha - x_n > 0$ であるから、両辺に $\alpha - x_n$ を掛けると次式を得る。

$$\alpha - x_{n+1} < (1 + \alpha - \beta)(\alpha - x_n)$$

ここで $r = 1 + \alpha - \beta$ とおく。

$0 < \alpha < \beta < 1$ より、$\alpha - \beta < 0$ であるから $r < 1$ である。

また、$\alpha > 0$ かつ $1 - \beta > 0$ より $r > 0$ である。

よって、$0 < r < 1$ である。

上記の不等式は $\alpha - x_{n+1} < r(\alpha - x_n)$ と表せるので、これを繰り返し用いると以下のようになる。

$$0 < \alpha - x_n < r(\alpha - x_{n-1}) < r^2(\alpha - x_{n-2}) < \cdots < r^{n-1}(\alpha - x_1)$$

$0 < r < 1$ であるから、$\lim_{n \to \infty} r^{n-1} = 0$ となり、$\lim_{n \to \infty} r^{n-1}(\alpha - x_1) = 0$ である。

したがって、はさみうちの原理より次が成り立つ。

$$\lim_{n \to \infty} (\alpha - x_n) = 0$$

解説

前問の結果を次の問題で利用する、誘導が丁寧な問題である。 (1) では、与えられた不等式をそのまま証明しようとするのではなく、差をとって因数分解の形を作るという基本手順が重要になる。 (2) は「すべての自然数」という記述と、前項の条件から次項の条件が定まる漸化式の性質から、数学的帰納法を選択するのが定石である。 (3) のような非線形な漸化式で定まる数列の極限では、一般項を求めることは困難である。そのため、(1) で証明したような「公比が $1$ より小さい等比数列の形を作る不等式」を利用して上から評価し、はさみうちの原理を用いる手法が極めて典型的なアプローチとなる。