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大阪大学 2001年理系第4問解説

方針・初手

(1)

$g_n(k-1) \geqq g_n(k)$ は、差をとることで $g_n(k) - g_n(k-1) \leqq 0$ と同値であることがわかる。$g_n(k)$ の定義式からこの差は $f\left(\frac{k\pi}{3n}\right)$ となるため、$f(x) \leqq 0$ となる $x$ の範囲を調べればよい。最小値を与える $k$ も、各項の符号の変化から数列の増減を調べて決定する。 (2) (1)の結果より $G_n = g_n(n-1)=g_n(n)$ であり、極限 $\lim_{n\to\infty} \frac{G_n}{n}$ は和の極限となる。定積分の定義（区分求積法）を用いて計算する。

解法1

(1)

$g_n(k)$ の定義より、$2 \leqq k \leqq 3n$ に対して

$$ g_n(k) - g_n(k-1) = f\left(\frac{k\pi}{3n}\right) $$

であるから、$g_n(k-1) \geqq g_n(k)$ は

$$ f\left(\frac{k\pi}{3n}\right) \leqq 0 $$

と同値である。ここで、関数 $f(x)$ を変形すると

$$ f(x) = 4\cos^2 x - 8\cos x + 3 = (2\cos x - 1)(2\cos x - 3) $$

となる。$1 \leqq k \leqq 3n$ より $x = \frac{k\pi}{3n}$ は $0 < x \leqq \pi$ の範囲にある。このとき、$-1 \leqq \cos x < 1$ であるから、$2\cos x - 3 < 0$ は常に成り立つ。したがって

$$ f(x) \leqq 0 \iff 2\cos x - 1 \geqq 0 \iff \cos x \geqq \frac{1}{2} $$

$0 < x \leqq \pi$ において $\cos x \geqq \frac{1}{2}$ を解くと

$$ 0 < x \leqq \frac{\pi}{3} $$

$x = \frac{k\pi}{3n}$ を代入すると

$$ 0 < \frac{k\pi}{3n} \leqq \frac{\pi}{3} \iff 0 < k \leqq n $$

$2 \leqq k \leqq 3n$ の範囲でこれを満たす自然数 $k$ は、$2 \leqq k \leqq n$ である。

また、$1 \leqq k \leqq 3n$ の範囲で $g_n(k)$ を最小とする $k$ について考える。上の議論から、各項 $f\left(\frac{k\pi}{3n}\right)$ の符号は以下のようになる。

$1 \leqq k \leqq n-1$ のとき、$f\left(\frac{k\pi}{3n}\right) < 0$
$k=n$ のとき、$f\left(\frac{k\pi}{3n}\right) = 0$
$n < k \leqq 3n$ のとき、$f\left(\frac{k\pi}{3n}\right) > 0$

したがって、数列 $\{g_n(k)\}$ の増減は

$$ g_n(1) > g_n(2) > \cdots > g_n(n-1) = g_n(n) < g_n(n+1) < \cdots < g_n(3n) $$

となる。ゆえに、$g_n(k)$ を最小とする $k$ は $k = n-1, n$ である。

(2)

(1)より、$g_n(k)$ の最小値 $G_n$ は $G_n = g_n(n-1)=g_n(n)$ である。計算には $g_n(n)$ を用いてよいから

$$ G_n = \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k\pi}{3n}\right) $$

求める極限値は

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{G_n}{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left( \frac{\pi}{3} \cdot \frac{k}{n} \right) $$

区分求積法を用いると、この極限は定積分で表すことができる。

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left( \frac{\pi}{3} \cdot \frac{k}{n} \right) = \int_{0}^{1} f\left(\frac{\pi}{3}x\right) dx $$

ここで、$t = \frac{\pi}{3}x$ とおくと、$dx = \frac{3}{\pi} dt$ であり、積分区間は $x: 0 \to 1$ から $t: 0 \to \frac{\pi}{3}$ に対応する。

$$ \int_{0}^{1} f\left(\frac{\pi}{3}x\right) dx = \frac{3}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} f(t) dt $$

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} f(t) dt$ を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (4\cos^2 t - 8\cos t + 3) dt &= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \left(4 \cdot \frac{1+\cos 2t}{2} - 8\cos t + 3\right) dt \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (2\cos 2t - 8\cos t + 5) dt \\ &= \left[ \sin 2t - 8\sin t + 5t \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} \\ &= \sin\frac{2\pi}{3} - 8\sin\frac{\pi}{3} + 5 \cdot \frac{\pi}{3} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} - 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5\pi}{3} \\ &= \frac{5\pi}{3} - \frac{7\sqrt{3}}{2} \end{aligned} $$

したがって、求める極限値は

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{G_n}{n} = \frac{3}{\pi} \left( \frac{5\pi}{3} - \frac{7\sqrt{3}}{2} \right) = 5 - \frac{21\sqrt{3}}{2\pi} $$

解説

(1) は数列の和で定義された関数の増減を調べる問題である。数列の増減は隣り合う項の差をとることが定石であり、$g_n(k) - g_n(k-1)$ を考えることで一般項の符号の問題に帰着できる。 (2) は $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} F\left(\frac{k}{n}\right)$ の形をしているため、区分求積法の典型的な適用例である。置換積分と半角の公式を用いた三角関数の積分計算を確実に行う必要がある。