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大阪大学 2010年理系第3問解説

方針・初手

文字が3つ含まれる等式を満たす整数の組を求める問題である。まずは条件 $l, m, n \ge 3$ を活用して、いずれかの文字の範囲を絞り込むことを目指す。

等式の形から、一方の辺が正であることを利用して不等式を作る方針や、ある文字について解いて分母分子の関係から絞り込む方針が有効である。

解法1

与式を次のように変形する。

$$ \frac{n}{m} - \frac{n}{2} + 1 = \frac{2}{l} $$

$l \ge 3$ であるから $\frac{2}{l} > 0$ であり、次の不等式が成り立つ。

$$ \frac{n}{m} - \frac{n}{2} + 1 > 0 $$

$$ n \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{m} \right) < 1 $$

$$ n \cdot \frac{m - 2}{2m} < 1 $$

条件 $m \ge 3$ より $m - 2 > 0$ および $2m > 0$ であるから、両辺に $\frac{2m}{m - 2}$ を掛けて整理する。

$$ n < \frac{2m}{m - 2} = \frac{2(m - 2) + 4}{m - 2} = 2 + \frac{4}{m - 2} $$

ここで $m \ge 3$ であるから $m - 2 \ge 1$ となり、$\frac{4}{m - 2} \le 4$ が成り立つ。したがって

$$ n < 2 + 4 = 6 $$

条件 $n \ge 3$ と合わせると、$n$ がとり得る値は $n = 3, 4, 5$ に限られる。

(i)

$n = 3$ のとき

元の等式に代入して整理する。

$$ \left(\frac{3}{m} - \frac{1}{2}\right)l = 2 $$

$$ \frac{6 - m}{2m} = \frac{2}{l} $$

$$ l = \frac{4m}{6 - m} = \frac{-4(6 - m) + 24}{6 - m} = -4 + \frac{24}{6 - m} $$

$l \ge 3 > 0$ であり、$4m > 0$ であるから、分母は $6 - m > 0$ すなわち $m < 6$ でなければならない。 $m \ge 3$ より、$m = 3, 4, 5$ となる。

$m = 3$ のとき、$l = -4 + \frac{24}{3} = 4 \ge 3$ となり適する。
$m = 4$ のとき、$l = -4 + \frac{24}{2} = 8 \ge 3$ となり適する。
$m = 5$ のとき、$l = -4 + \frac{24}{1} = 20 \ge 3$ となり適する。

(ii)

$n = 4$ のとき

元の等式に代入して整理する。

$$ \left(\frac{4}{m} - 1\right)l = 2 $$

$$ l = \frac{2m}{4 - m} = \frac{-2(4 - m) + 8}{4 - m} = -2 + \frac{8}{4 - m} $$

同様に $l > 0$ より $4 - m > 0$ すなわち $m < 4$ である。 $m \ge 3$ より、$m = 3$ に限られる。

$m = 3$ のとき、$l = -2 + \frac{8}{1} = 6 \ge 3$ となり適する。

(iii)

$n = 5$ のとき

元の等式に代入して整理する。

$$ \left(\frac{5}{m} - \frac{3}{2}\right)l = 2 $$

$$ \frac{10 - 3m}{2m} = \frac{2}{l} $$

$$ l = \frac{4m}{10 - 3m} $$

同様に $l > 0$ より $10 - 3m > 0$ すなわち $m < \frac{10}{3}$ である。 $m \ge 3$ より、$m = 3$ に限られる。

$m = 3$ のとき、$l = \frac{12}{10 - 9} = 12 \ge 3$ となり適する。

以上 (i)〜(iii) より、条件を満たす組がすべて求まる。

解法2

与えられた等式

$$ \left(\frac{n}{m} - \frac{n}{2} + 1\right)l = 2 $$

の両辺に $2m$ を掛けて展開すると

$$ (2n - mn + 2m)l = 4m $$

$$ 2nl - mnl + 2ml = 4m $$

$m$ について整理すると

$$ m(nl - 2l + 4) = 2nl $$

ここで、$l, n \ge 3$ であるから $nl > 0$。ゆえに $m(nl - 2l + 4) > 0$ となり、$m \ge 3 > 0$ であることから

$$ nl - 2l + 4 > 0 $$

である。両辺を $nl - 2l + 4$ で割ると

$$ m = \frac{2nl}{nl - 2l + 4} $$

$m \ge 3$ であるから

$$ \frac{2nl}{nl - 2l + 4} \ge 3 $$

分母は正なので払うことができ

$$ 2nl \ge 3nl - 6l + 12 $$

$$ nl - 6l + 12 \le 0 $$

$$ l(n - 6) \le -12 $$

$l \ge 3$ より $l > 0$ であるから、$n - 6 < 0$、すなわち $n < 6$ を得る。 $n \ge 3$ なので、$n = 3, 4, 5$ に絞られる。

(i)

$n = 3$ のとき

不等式は $-3l \le -12$ より $l \ge 4$。また、

$$ m = \frac{6l}{3l - 2l + 4} = \frac{6l}{l + 4} = \frac{6(l + 4) - 24}{l + 4} = 6 - \frac{24}{l + 4} $$

$m$ は整数であるから、$l + 4$ は 24 の正の約数である。 $l \ge 4$ より $l + 4 \ge 8$ であるから、$l + 4 = 8, 12, 24$。

$l + 4 = 8$ のとき、$l = 4$ であり、$m = 6 - 3 = 3 \ge 3$。
$l + 4 = 12$ のとき、$l = 8$ であり、$m = 6 - 2 = 4 \ge 3$。
$l + 4 = 24$ のとき、$l = 20$ であり、$m = 6 - 1 = 5 \ge 3$。

(ii)

$n = 4$ のとき

不等式は $-2l \le -12$ より $l \ge 6$。

$$ m = \frac{8l}{4l - 2l + 4} = \frac{8l}{2l + 4} = \frac{4l}{l + 2} = \frac{4(l + 2) - 8}{l + 2} = 4 - \frac{8}{l + 2} $$

$m$ は整数であるから、$l + 2$ は 8 の正の約数である。 $l \ge 6$ より $l + 2 \ge 8$ であるから、$l + 2 = 8$。このとき $l = 6$ であり、$m = 4 - 1 = 3 \ge 3$。

(iii)

$n = 5$ のとき

不等式は $-l \le -12$ より $l \ge 12$。

$$ m = \frac{10l}{5l - 2l + 4} = \frac{10l}{3l + 4} = \frac{3(3l + 4) + l - 12}{3l + 4} = 3 + \frac{l - 12}{3l + 4} $$

ここで $l \ge 12$ のとき $l - 12 \ge 0$ であり、また $3l + 4 > l - 12$ も成り立つため、

$$ 0 \le \frac{l - 12}{3l + 4} < 1 $$

となる。これが整数となるためには $\frac{l - 12}{3l + 4} = 0$、すなわち $l = 12$ でなければならない。このとき $m = 3 \ge 3$。

以上 (i)〜(iii) より、条件を満たす組がすべて求まる。

解説

分数を含む不定方程式では、「不等式を作って範囲を絞る」「積の形に持ち込む」「商と余りに分ける」の3つが基本方針となる。

本問は、解法1のように $l \ge 3$ から $\frac{2}{l} > 0$ に着目して一気に $n$ の上限を絞り込むのが最も見通しのよい解法である。解法2のように愚直に1つの文字について解くアプローチでも、次数下げと分母・分子の不等式評価を適切に行えば完答できる。複数の文字がある場合は、どの文字を主役にして整理するかを試行錯誤することが重要である。