大阪大学 2013年 理系 第3問 解説

方針・初手

与えられた4つの数 $n+1$, $n^3+3$, $n^5+5$, $n^7+7$ がすべて素数となる条件を考える。 式が多項式の形であり因数分解が困難であるため、「特定の数を法とする剰余」に着目し、いずれかの数が合成数（ある素数の倍数）になることを示す方針が有効である。 各式の累乗の指数と加える定数が一致していることに着目し、扱いやすい小さな素数（$2$ や $3$ など）で割った余りで場合分けを行う。

解法1

すべての正の整数 $n$ を $3$ で割った余りで分類する。

(i)

$n \equiv 0 \pmod 3$ のとき

$$ n^3+3 \equiv 0^3+3 \equiv 0 \pmod 3 $$

したがって、$n^3+3$ は $3$ の倍数である。 $n$ は正の整数であるから $n \ge 1$ であり、$n^3+3 \ge 4$ である。 よって、$n^3+3$ は $3$ より大きい $3$ の倍数となり、素数ではない。

(ii)

$n \equiv 1 \pmod 3$ のとき

$$ n^5+5 \equiv 1^5+5 = 6 \equiv 0 \pmod 3 $$

したがって、$n^5+5$ は $3$ の倍数である。 $n \ge 1$ より $n^5+5 \ge 6$ であるため、$n^5+5$ は $3$ より大きい $3$ の倍数となり、素数ではない。

(iii)

$n \equiv 2 \pmod 3$ のとき

$$ n+1 \equiv 2+1 = 3 \equiv 0 \pmod 3 $$

したがって、$n+1$ は $3$ の倍数である。 $n \ge 1$ より $n+1 \ge 2$ であり、$n+1$ が素数となるためには、$n+1=3$ すなわち $n=2$ でなければならない。

$n=2$ のとき、4番目の数 $n^7+7$ を計算すると、

$$ n^7+7 = 2^7+7 = 128+7 = 135 $$

$135$ は一の位が $5$ であるから $5$ の倍数であり、素数ではない。 したがって、$n=2$ のときも条件を満たさない。

（i）、（ii）、（iii） のいずれの場合も4つの数のうち少なくとも1つは素数ではない。 よって、これらがすべて素数となるような正の整数 $n$ は存在しない。

解法2

まず $n$ の偶奇で分類し、その後さらに剰余を調べる方法をとる。

(i)

$n$ が奇数のとき

$n$ が奇数ならば $n+1$ は偶数である。 $n \ge 1$ より $n+1 \ge 2$ であり、$n+1$ が素数となるのは $n+1=2$ すなわち $n=1$ のときのみである。

$n=1$ のとき、$n^3+3$ を計算すると、

$$ n^3+3 = 1^3+3 = 4 $$

$4$ は素数ではない。よって、$n$ が奇数のときは条件を満たさない。

(ii)

$n$ が偶数のとき

$n \equiv 0, 1, 2 \pmod 3$ の場合分けを考える。

(ア)

$n \equiv 0 \pmod 3$ のとき

$$ n^3+3 \equiv 0+3 \equiv 0 \pmod 3 $$

$n \ge 2$ より $n^3+3 \ge 11$ であり、$n^3+3$ は素数ではない。

(イ)

$n \equiv 1 \pmod 3$ のとき

$$ n^5+5 \equiv 1+5 = 6 \equiv 0 \pmod 3 $$

$n \ge 2$ より $n^5+5 \ge 37$ であり、$n^5+5$ は素数ではない。

(ウ)

$n \equiv 2 \pmod 3$ のとき

$$ n+1 \equiv 2+1 = 3 \equiv 0 \pmod 3 $$

$n \ge 2$ より $n+1 \ge 3$ であり、$n+1$ が素数となるのは $n+1=3$ すなわち $n=2$ のときのみである。 $n=2$ のとき、

$$ n^7+7 = 2^7+7 = 135 $$

$135$ は $5$ の倍数であり、素数ではない。

以上より、すべての正の整数 $n$ において条件を満たさない。

解説

素数に関する整数問題の基本は「積の形を作る」か「剰余で分類する」ことである。本問は多項式の形をしており因数分解が難しいため、特定の数を法とする剰余に注目して「素数ではない（合成数である）」ことを示す方針が自然に導かれる。

法として何を選ぶかがポイントになるが、$n=1, 2, 3, \dots$ と具体的に実験を行って式の値の規則性を調べることで、$3$ の倍数が頻繁に現れることに気づける。累乗の指数が $1, 3, 5, 7$ と奇数であるため、$3$ を法とする剰余を考えるとすべてうまく処理できる。

答え

題意の通り、与えられた4つの整数がすべて素数となるような正の整数 $n$ は存在しないことが証明された。