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東北大学 1961年文系第4問解説

方針・初手

(1) は、接線が接点を通る半径に垂直であるという図形的な性質を、ベクトルの内積を用いて数式化するのが最も簡便である。 (2) は、円外の点から引いた2本の接線の接点を結ぶ直線（極線）の方程式を求める典型的な手順である。接点 $P, Q$ における接線の方程式をそれぞれ立式し、それらが点 $R$ を通るという条件を「直線と点」の関係から「点と直線」の関係へ見方を変える。 (3) は、(2) で求めた点 $R$ の座標と $A, B$ の関係式を利用して、直線の方程式を点 $R$ の座標で表す。その後、「直線が円に接する」という条件を「円の中心と直線の距離が半径に等しい」ことと同値であることを用いて立式し、点 $R$ の軌跡の方程式を求める。

解法1

(1)

円の中心を $C(a, b)$、接点を $P_1(x_1, y_1)$、接線上の任意の点を $P(x, y)$ とする。円の半径は $r$ である。

ベクトル $\overrightarrow{CP_1}$ と $\overrightarrow{CP}$ はそれぞれ成分で次のように表される。

$$ \overrightarrow{CP_1} = (x_1 - a, y_1 - b) $$

$$ \overrightarrow{CP} = (x - a, y - b) $$

点 $P$ が接線上にあるための条件は、点 $P$ が接点 $P_1$ と一致するか、あるいは直線 $P_1P$ が半径 $CP_1$ に垂直であることである。これらはまとめてベクトルの内積を用いて次のように表される。

$$ \overrightarrow{CP_1} \cdot \overrightarrow{P_1P} = 0 $$

ここで、$\overrightarrow{P_1P} = \overrightarrow{CP} - \overrightarrow{CP_1}$ であるから、式に代入して展開する。

$$ \overrightarrow{CP_1} \cdot (\overrightarrow{CP} - \overrightarrow{CP_1}) = 0 $$

$$ \overrightarrow{CP_1} \cdot \overrightarrow{CP} - |\overrightarrow{CP_1}|^2 = 0 $$

点 $P_1(x_1, y_1)$ は半径 $r$ の円周上の点であるから、$|\overrightarrow{CP_1}|^2 = r^2$ が成り立つ。したがって、

$$ \overrightarrow{CP_1} \cdot \overrightarrow{CP} = r^2 $$

これを成分で表すと、

$$ (x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2 $$

となり、示された。

(2)

点 $R$ の座標を $(X, Y)$ とする。点 $P(x_1, y_1)$ は円 $x^2 + y^2 = 4$ 上の点であるから、(1) の結果において $a=0, b=0, r^2=4$ とすることで、点 $P$ における接線の方程式は次のように表せる。

$$ x_1 x + y_1 y = 4 $$

この接線は点 $R(X, Y)$ を通るため、代入して成り立つ。

$$ x_1 X + y_1 Y = 4 \quad \cdots \text{①} $$

同様に、点 $Q(x_2, y_2)$ における接線も点 $R(X, Y)$ を通るため、次が成り立つ。

$$ x_2 X + y_2 Y = 4 \quad \cdots \text{②} $$

①、②の式は、2点 $P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2)$ が直線 $X x + Y y = 4$ 上にあることを示している。条件より、$P, Q$ は同一直径上にない異なる2点であるから、点 $P, Q$ を結ぶ直線はただ一つに定まり、その方程式は次となる。

$$ X x + Y y = 4 $$

一方、問題の条件から直線 $PQ$ の方程式は $Ax + By = 1$ と与えられている。これを定数項が等しくなるように変形すると $4Ax + 4By = 4$ となる。これらは同一の直線を表すため、係数を比較して次を得る。

$$ X = 4A, \quad Y = 4B $$

したがって、点 $R$ の座標は $(4A, 4B)$ と表される。

(3)

点 $R$ の座標を $(X, Y)$ とおくと、(2) より $A = \frac{X}{4}, B = \frac{Y}{4}$ である。これを直線 $Ax + By = 1$ の方程式に代入して、点 $R$ の座標を用いた直線の方程式を得る。

$$ \frac{X}{4}x + \frac{Y}{4}y = 1 $$

$$ Xx + Yy - 4 = 0 $$

この直線が円 $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{1}{4}$ に接しながら動く。直線が円に接するための条件は、円の中心 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ と直線の距離が、円の半径 $\frac{1}{2}$ に等しいことである。点と直線の距離の公式より、

$$ \frac{\left| X \cdot \frac{1}{2} + Y \cdot 0 - 4 \right|}{\sqrt{X^2 + Y^2}} = \frac{1}{2} $$

$$ \frac{\left| \frac{1}{2}X - 4 \right|}{\sqrt{X^2 + Y^2}} = \frac{1}{2} $$

両辺に $2\sqrt{X^2 + Y^2}$ を掛けて分母を払う。

$$ |X - 8| = \sqrt{X^2 + Y^2} $$

両辺はともに正または0であるから、2乗して整理する。

$$ (X - 8)^2 = X^2 + Y^2 $$

$$ X^2 - 16X + 64 = X^2 + Y^2 $$

$$ Y^2 = -16X + 64 $$

$$ Y^2 = -16(X - 4) $$

よって、点 $R(X, Y)$ が描く軌跡の方程式が求まった。