東北大学 1978年 文系 第2問 解説

方針・初手

（1） は指示どおり数学的帰納法で示す。帰納法の推論では、仮定

$$ (n+6)^2<2^{n+5} $$

から

$$ (n+7)^2<2^{n+6} $$

を導けばよい。そのために $(n+7)^2$ と $2(n+6)^2$ を比較する。

（2） は左辺が連続する奇数の和なので、まず和を公式で整理する。その後、（1） の結果を $n=k-5$ として用いると、$k\geqq 6$ の場合を一括で排除できる。

解法1

(1)

命題

$$ P(n):\ (n+6)^2<2^{n+5} $$

を考える。

まず、$n=1$ のときを確かめる。

$$ (1+6)^2=49,\qquad 2^{1+5}=2^6=64 $$

より、

$$ 49<64 $$

であるから、$P(1)$ は成り立つ。

次に、ある正の整数 $n$ について $P(n)$、すなわち

$$ (n+6)^2<2^{n+5} $$

が成り立つと仮定する。このとき $P(n+1)$ を示す。

$(n+7)^2$ と $2(n+6)^2$ の差をとると、

$$ \begin{aligned} 2(n+6)^2-(n+7)^2 &=2(n^2+12n+36)-(n^2+14n+49)\\ &=n^2+10n+23 \end{aligned} $$

となる。$n$ は正の整数であるから、

$$ n^2+10n+23>0 $$

である。したがって、

$$ (n+7)^2<2(n+6)^2 $$

が成り立つ。

ここで帰納法の仮定より $(n+6)^2<2^{n+5}$ だから、

$$ 2(n+6)^2<2^{n+6} $$

である。よって

$$ (n+7)^2<2(n+6)^2<2^{n+6} $$

となり、

$$ (n+7)^2<2^{n+6} $$

すなわち $P(n+1)$ が成り立つ。

以上より、数学的帰納法によって、任意の正の整数 $n$ に対して

$$ (n+6)^2<2^{n+5} $$

が成立する。

(2)

左辺は初項 $1$、末項 $2k+1$、項数 $k+1$ の等差数列の和であるから、

$$ 1+3+5+\cdots +(2k+1)=\frac{(k+1){1+(2k+1)}}{2}=(k+1)^2 $$

である。

したがって、与えられた条件は

$$ (k+1)^2=2^k+4 $$

となる。

ここで $k\geqq 6$ とすると、$n=k-5$ は正の整数であるから、（1） により

$$ (k+1)^2=(n+6)^2<2^{n+5}=2^k $$

となる。これは

$$ (k+1)^2=2^k+4>2^k $$

に矛盾する。よって、解があるとしても

$$ k\leqq 5 $$

でなければならない。

そこで $k=1,2,3,4,5$ を調べる。

$$ \begin{aligned} k=1&:\ (k+1)^2=4,\quad 2^k+4=6\\ k=2&:\ (k+1)^2=9,\quad 2^k+4=8\\ k=3&:\ (k+1)^2=16,\quad 2^k+4=12\\ k=4&:\ (k+1)^2=25,\quad 2^k+4=20\\ k=5&:\ (k+1)^2=36,\quad 2^k+4=36 \end{aligned} $$

よって条件を満たすのは

$$ k=5 $$

のみである。

解説

（1） の帰納法では、単に仮定を2倍するだけでなく、$(n+7)^2$ が $2(n+6)^2$ より小さいことをきちんと確認するのが要点である。帰納法の推論で「どの量と比較すればよいか」を見抜けるかが重要である。

（2） は奇数和の公式

$$ 1+3+5+\cdots +(2m-1)=m^2 $$

を使って二乗と指数の比較に直す問題である。ここで （1） を $n=k-5$ と読み替えると、$k$ が大きい場合を一気に排除でき、残りは有限個の確認だけで済む。

答え

(1)

任意の正の整数 $n$ に対して

$$ (n+6)^2<2^{n+5} $$

が成り立つ。

(2)

$$ k=5 $$