東北大学 2020年 理系 第3問 解説

方針・初手

まず

$$ f(n)=2^n+n^2+8-3^n $$

とおくと、（1） は $f(n)<0\ (n\geq 3)$ を示す問題であり、（2） は $f(n)\geq 0$ となる $n$ を求める問題である。

したがって、（1） を数学的帰納法などで示せば、（2） は小さい $n$ の確認だけで終わる。さらに （3） は

$$ an+b=f(n) $$

と見れば、左辺が $0$ 以上であることから $f(n)\geq 0$、すなわち （2） の結果をそのまま使える。

解法1

（1） $n\geq 3$ のとき $2^n+n^2+8<3^n$ を示す

数学的帰納法で示す。

まず $n=3$ のときを調べると、

$$ 2^3+3^2+8=8+9+8=25<27=3^3 $$

であり、成り立つ。

次に、ある $n\geq 3$ で

$$ 2^n+n^2+8<3^n $$

が成り立つと仮定する。このとき

$$ \begin{aligned} 2^{n+1}+(n+1)^2+8 &=(2^n+n^2+8)+(2^n+2n+1) \\ &<3^n+(2^n+2n+1) \end{aligned} $$

である。

ここで $n\geq 3$ なら

$$ 2^n+2n+1<2^n+2^n+2^n=3\cdot 2^n $$

であり、しかも $2^n<3^n$ だから

$$ 2^n+2n+1<2\cdot 3^n $$

が従う。したがって

$$ 2^{n+1}+(n+1)^2+8<3^n+2\cdot 3^n=3^{n+1} $$

となる。

よって、数学的帰納法により $n\geq 3$ のとき

$$ 2^n+n^2+8<3^n $$

が成り立つ。

（2） 不等式 $2^n+n^2+8\geq 3^n$ を満たす $n$ を求める

（1） より、$n\geq 3$ では

$$ 2^n+n^2+8<3^n $$

である。したがって、条件を満たす可能性があるのは $n=1,2$ のみである。

実際に確かめると、

$$ n=1:\quad 2^1+1^2+8=11\geq 3 $$

$$ n=2:\quad 2^2+2^2+8=16\geq 9 $$

であるから、求める $n$ は

$$ n=1,2 $$

である。

（3） 等式 $2^n+n^2+8=3^n+an+b$ を満たす $(a,b,n)$ をすべて求める

与えられた等式を変形すると

$$ an+b=2^n+n^2+8-3^n $$

となる。

左辺 $an+b$ は $a,b\geq 0$ より $0$ 以上であるから、

$$ 2^n+n^2+8-3^n\geq 0 $$

すなわち

$$ 2^n+n^2+8\geq 3^n $$

が必要である。（2） より、このとき $n=1,2$ に限られる。

(i)

$n=1$ のとき

$$ 2^1+1^2+8=3^1+a+b $$

より

$$ 11=3+a+b $$

したがって

$$ a+b=8 $$

である。よって

$$ (a,b,n)=(a,,8-a,,1)\qquad (a=0,1,2,\dots,8) $$

である。

(ii)

$n=2$ のとき

$$ 2^2+2^2+8=3^2+2a+b $$

より

$$ 16=9+2a+b $$

したがって

$$ 2a+b=7 $$

である。$b\geq 0$ より $a=0,1,2,3$ であり、

$$ (a,b,n)=(0,7,2),(1,5,2),(2,3,2),(3,1,2) $$

を得る。

以上より、求める組はこれらすべてである。

解説

この問題の核は、まず

$$ 2^n+n^2+8-3^n $$

の符号を押さえることである。指数関数 $3^n$ は $2^n$ や多項式 $n^2$ より増加が速いので、十分大きい $n$ では負になるはずであり、それを （1） で厳密に示している。

（2） は （1） の直接の応用であり、$n\geq 3$ を一気に排除して $n=1,2$ を調べるだけになる。

（3） では $an+b\geq 0$ という条件を見落とさないことが重要である。これにより右辺の補正項 $an+b$ が非負だから、結局 （2） と同じ条件に帰着する。したがって、先に （1） と （2） を処理しておくのが自然な流れである。

答え

$$ \text{(1)}\quad n\geq 3 \text{ のとき } 2^n+n^2+8<3^n $$

$$ \text{(2)}\quad 2^n+n^2+8\geq 3^n \text{ を満たす } n \text{ は } 1,2 $$

$$ \text{(3)}\quad (a,b,n)=(a,,8-a,,1)\ (a=0,1,\dots,8), \ (0,7,2),(1,5,2),(2,3,2),(3,1,2) $$