東北大学 1982年 文系 第2問 解説

方針・初手

$(a+b+c+d)^7$ の各項の係数は、多項定理によって求められる。

また、係数

$$ \frac{7!}{p!q!r!s!} $$

を最大にするには、分母 $p!q!r!s!$ を最小にすればよいので、$p,q,r,s$ をできるだけ均等に分けることを考える。

解法1

まず、多項定理より

$$ (a+b+c+d)^7=\sum_{p+q+r+s=7}\frac{7!}{p!q!r!s!}a^pb^qc^rd^s $$

である。ただし、和は $p,q,r,s$ が負でない整数で

$$ p+q+r+s=7 $$

を満たすすべての場合についてとる。

したがって、項 $a^pb^qc^rd^s$ の係数は

$$ \frac{7!}{p!q!r!s!} $$

である。

次に、この係数の最大値を求める。

係数は

$$ \frac{7!}{p!q!r!s!} $$

であり、$7!$ は一定であるから、$p!q!r!s!$ を最小にすればよい。

ここで、もしある2つの整数について $x\ge y+2$ であれば、$x$ を $x-1$ にし、$y$ を $y+1$ に移したとき

$$ \frac{(x-1)!(y+1)!}{x!y!} =\frac{y+1}{x} \le 1 $$

となる。しかも $x\ge y+2$ なら

$$ y+1<x $$

であるから、

$$ (x-1)!(y+1)!<x!y! $$

となる。

よって、和を保ったまま2つの数の差が2以上あるなら、より均等にした方が分母は小さくなる。したがって、分母 $p!q!r!s!$ が最小になるのは、$p,q,r,s$ ができるだけ等しいときである。

$p+q+r+s=7$ を4個にできるだけ均等に分けると

$$ 7=2+2+2+1 $$

であるから、最大となるのは $(p,q,r,s)$ が $(2,2,2,1)$ の並べ替えのときである。

このとき係数は

$$ \frac{7!}{2!2!2!1!} =\frac{5040}{8} =630 $$

である。

解説

この問題の要点は、多項定理を正しく使うことと、最大値の問題を「分母の最小化」に言い換えることである。

最大値の判定では、和が一定のとき factorial の積は値が偏るほど大きくなり、できるだけ均等な配分のとき最小になる。したがって、$7$ を4つに分けるなら $(2,2,2,1)$ が最も有利である。

答え

項 $a^pb^qc^rd^s$ の係数は

$$ \frac{7!}{p!q!r!s!} $$

である。

係数の最大値は

$$ 630 $$

であり、そのとき

$$ (p,q,r,s) $$

は $(2,2,2,1)$ の並べ替え、すなわち $2,2,2,1$ をこの順に並べ替えたものである。