東北大学 1982年 文系 第3問 解説

方針・初手

領域は、放物線 $$ y=-x^2+1,\qquad y=-x^2+2 $$ にはさまれた幅 $1$ の帯状部分のうち、さらに直線 $y=a$ 以上にある部分である。

したがって、$x$ を固定したときの縦の長さを求めて積分すればよい。下端が $$ \max{a,,-x^2+1} $$ となるので、$y=a$ と $y=-x^2+1$ の大小で場合分けする。

解法1

$y=a$ と $y=-x^2+1$ の交点は

$$ a=-x^2+1 $$

より

$$ x=\pm\sqrt{1-a} $$

である。また、領域が存在するためには上端 $y=-x^2+2$ が $a$ 以上である必要があるから、

$$ a\le -x^2+2 $$

すなわち

$$ x^2\le 2-a,\qquad |x|\le \sqrt{2-a} $$

である。

ここで $a\le 1$ であるから、$\sqrt{1-a}$ は実数である。

(i) $|x|\le \sqrt{1-a}$ のとき

この範囲では $-x^2+1\ge a$ であるから、下端は $y=-x^2+1$、上端は $y=-x^2+2$ である。したがって縦の長さは

$$ (-x^2+2)-(-x^2+1)=1 $$

となる。

(ii) $\sqrt{1-a}<|x|\le \sqrt{2-a}$ のとき

この範囲では $-x^2+1<a$ であるから、下端は $y=a$、上端は $y=-x^2+2$ である。したがって縦の長さは

$$ (-x^2+2)-a=-x^2+2-a $$

となる。

よって、求める面積 $S$ は

$$ S=\int_{-\sqrt{1-a}}^{\sqrt{1-a}}1,dx +2\int_{\sqrt{1-a}}^{\sqrt{2-a}}(-x^2+2-a),dx $$

である。

第1項は

$$ \int_{-\sqrt{1-a}}^{\sqrt{1-a}}1,dx=2\sqrt{1-a} $$

である。

第2項を計算すると、

$$ 2\int_{\sqrt{1-a}}^{\sqrt{2-a}}(-x^2+2-a),dx =2\left[-\frac{x^3}{3}+(2-a)x\right]_{\sqrt{1-a}}^{\sqrt{2-a}} $$

$$ =2\left(\frac{2}{3}(2-a)^{3/2}-\left{(2-a)\sqrt{1-a}-\frac{1}{3}(1-a)^{3/2}\right}\right) $$

したがって

$$ S =2\sqrt{1-a} +\frac{4}{3}(2-a)^{3/2} -2(2-a)\sqrt{1-a} +\frac{2}{3}(1-a)^{3/2} $$

ここで

$$ 2\sqrt{1-a}-2(2-a)\sqrt{1-a} =-2(1-a)\sqrt{1-a} =-2(1-a)^{3/2} $$

であるから、

$$ S=\frac{4}{3}(2-a)^{3/2}-\frac{4}{3}(1-a)^{3/2} $$

すなわち

$$ S=\frac{4}{3}\left{(2-a)^{3/2}-(1-a)^{3/2}\right} $$

となる。

解説

この問題では、$x$ を固定したときの「縦の長さ」を見るのが最も自然である。

放物線どうしの間の幅は常に $1$ であるが、外側では直線 $y=a$ が下端になるため、その部分だけ縦の長さが変わる。したがって、$y=a$ と下側の放物線 $y=-x^2+1$ の交点 $$ x=\pm\sqrt{1-a} $$ で積分区間を分けるのが要点である。

答え

求める面積は

$$ \frac{4}{3}\left\{(2-a)^{3/2}-(1-a)^{3/2}\right\} $$

である。