東北大学 1987年 文系 第2問 解説

方針・初手

直線は点 $P(0,2)$ を通るので、傾きを $m$ として

$$ y=mx+2 $$

とおける。

この直線とだ円 $C:x^2+4y^2=5$ との交点の $x$ 座標を $x_1,x_2$ とすると、条件「$x$ 座標の差の絶対値が $1$」は

$$ |x_1-x_2|=1 $$

である。これは交点の $x$ 座標についての2次方程式を作れば判定できる。

また、だ円の2焦点を結ぶ線分は $x$ 軸上の線分なので、この直線がその線分と交わる条件も同時に調べればよい。

解法1

だ円

$$ x^2+4y^2=5 $$

を標準形に直すと

$$ \frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{5/4}=1 $$

であるから、長半径は $\sqrt{5}$、短半径は $\sqrt{5}/2$ である。したがって焦点は

$$ \left(\pm \sqrt{5-\frac54},,0\right)=\left(\pm \frac{\sqrt{15}}2,,0\right) $$

であり、2焦点を結ぶ線分は $x$ 軸上の

$$ -\frac{\sqrt{15}}2 \le x \le \frac{\sqrt{15}}2 $$

の部分である。

点 $P(0,2)$ を通る直線を

$$ y=mx+2 $$

とする。これをだ円の式に代入すると

$$ x^2+4(mx+2)^2=5 $$

すなわち

$$ (1+4m^2)x^2+16mx+11=0 $$

を得る。この2解を $x_1,x_2$ とすると、

$$ |x_1-x_2|=\frac{\sqrt{\Delta}}{1+4m^2} $$

である。ただし判別式 $\Delta$ は

$$ \Delta=(16m)^2-4(1+4m^2)\cdot 11 =256m^2-44-176m^2 =80m^2-44 $$

である。

条件より

$$ |x_1-x_2|=1 $$

だから

$$ \frac{\sqrt{80m^2-44}}{1+4m^2}=1 $$

となる。両辺を2乗して

$$ 80m^2-44=(1+4m^2)^2 $$

$$ 80m^2-44=1+8m^2+16m^4 $$

$$ 16m^4-72m^2+45=0 $$

ここで $t=m^2$ とおくと

$$ 16t^2-72t+45=0 $$

より

$$ t=\frac{72\pm 48}{32} $$

したがって

$$ m^2=\frac{15}{4},\ \frac{3}{4} $$

すなわち

$$ m=\pm \frac{\sqrt{15}}2,\ \pm \frac{\sqrt{3}}2 $$

である。

次に、この直線が2焦点を結ぶ線分と交わる条件を調べる。直線 $y=mx+2$ が $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標は

$$ 0=mx+2 \quad \Longrightarrow \quad x=-\frac{2}{m} $$

である。これが線分上にあるためには

$$ \left|-\frac{2}{m}\right|\le \frac{\sqrt{15}}2 $$

すなわち

$$ |m|\ge \frac{4}{\sqrt{15}} $$

でなければならない。

候補を調べると、

(i)

$m=\pm \dfrac{\sqrt{15}}2$ のとき

$$ |m|=\frac{\sqrt{15}}2 \ge \frac{4}{\sqrt{15}} $$

であり、条件を満たす。

(ii)

$m=\pm \dfrac{\sqrt{3}}2$ のとき

$$ |m|=\frac{\sqrt{3}}2 < \frac{4}{\sqrt{15}} $$

であり、条件を満たさない。

よって求める直線は

$$ y=\frac{\sqrt{15}}2x+2,\qquad y=-\frac{\sqrt{15}}2x+2 $$

の2本である。

解説

この問題では、まず「2焦点を結ぶ線分」が $x$ 軸上にあることを押さえるのが重要である。そのうえで、直線を $y=mx+2$ とおいてだ円と連立し、交点の $x$ 座標についての2次方程式を作れば、条件 $|x_1-x_2|=1$ を判別式で処理できる。

注意すべき点は、$|x_1-x_2|=1$ を満たす傾きが出ても、それだけでは不十分であり、さらにその直線が本当に焦点間の線分と交わるかを確認しなければならないことである。ここで $x$ 軸との交点 $x=-2/m$ を調べるのが自然である。

答え

求める直線は

$$ y=\frac{\sqrt{15}}2x+2,\qquad y=-\frac{\sqrt{15}}2x+2 $$

である。