東北大学 1987年 文系 第1問 解説

方針・初手

面積が一次変換でどのように変わるかは行列式で決まる。したがって、まず $\det A$ を求めればよい。

つぎに (2) では、(1) の条件のもとで $(2,-1)$ の像の $x$ 座標を式で表し、制約 $a^2+b^2=1$ のもとで最大化する。

(3) では、(2) で得た $a,b$ に対する行列が回転行列になっていることを用い、正方形の各頂点の像を求めれば図形が分かる。

解法1

(1)

一次変換 $f$ を表す行列は

$$ A=\begin{pmatrix} a & -b\ b & a \end{pmatrix} $$

である。

原点 $O$ を頂点にもつ三角形 $OPQ$ の面積は、ベクトル $\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ}$ を並べた行列の行列式の絶対値の半分である。したがって、一次変換 $f$ によって三角形の面積は一般に $|\det A|$ 倍される。

よって、任意の三角形 $OPQ$ が面積の等しい三角形にうつるための必要十分条件は

$$ |\det A|=1 $$

である。

ここで

$$ \det A=a^2+b^2 $$

であり、これは常に $0$ 以上であるから、

$$ a^2+b^2=1 $$

が求める条件である。

(2)

点 $(2,-1)$ の像を求めると、

$$ A\begin{pmatrix} 2\ -1 \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} 2a+b\ 2b-a \end{pmatrix} $$

となる。したがって、求める $x$ 座標は $2a+b$ である。

(1) より制約条件は

$$ a^2+b^2=1 $$

であるから、$2a+b$ の最大値を求めればよい。

Cauchy-Schwarz の不等式より、

$$ (2a+b)^2 \le (2^2+1^2)(a^2+b^2)=5 $$

である。よって

$$ 2a+b \le \sqrt{5} $$

となる。

等号成立は $(a,b)$ が $(2,1)$ に比例するとき、すなわち

$$ (a,b)=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right) $$

のときである。

したがって、$x$ 座標が最大となるのは

$$ a=\frac{2}{\sqrt{5}},\quad b=\frac{1}{\sqrt{5}} $$

のときである。

(3)

(2) の結果より、

$$ A= \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}} & -\frac{1}{\sqrt{5}}\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \end{pmatrix} $$

である。

これは

$$ \cos\theta=\frac{2}{\sqrt{5}},\quad \sin\theta=\frac{1}{\sqrt{5}} $$

をみたす角 $\theta$ に対する回転行列である。したがって、$f$ は原点を中心とする反時計回りの回転である。

各頂点の像を求めると、

$$ f(O)=O=(0,0) $$

$$ f(E_1)=f(1,0)=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right) $$

$$ f(E_2)=f(1,1)=\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{3}{\sqrt{5}}\right) $$

$$ f(E_3)=f(0,1)=\left(-\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right) $$

となる。

したがって、正方形 $OE_1E_2E_3$ は、頂点

$$ O,\quad \left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right),\quad \left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{3}{\sqrt{5}}\right),\quad \left(-\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right) $$

をもつ正方形にうつる。

すなわち、もとの正方形を原点を中心として反時計回りに $\theta=\tan^{-1}!\left(\frac{1}{2}\right)$ だけ回転した図形である。

解説

この問題の要点は、行列

$$ \begin{pmatrix} a & -b\ b & a \end{pmatrix} $$

が「回転と拡大縮小を同時に表す形」になっていることである。

実際、$\det A=a^2+b^2$ は面積の倍率を表し、これが $1$ なら面積保存である。さらに (2) で得られた $a,b$ は $a^2+b^2=1$ をみたすので、このとき $A$ は純粋な回転行列になる。そのため (3) では図形の形は変わらず、頂点の座標だけ計算すればよい。

答え

$$ \text{**(1)**}\quad a^2+b^2=1 $$

$$ \text{**(2)**}\quad a=\frac{2}{\sqrt{5}},\quad b=\frac{1}{\sqrt{5}} $$

$$ \text{**(3)**}\quad \text{正方形 }OE_1E_2E_3\text{ は、頂点 } O,\ \left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right),\ \left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{3}{\sqrt{5}}\right),\ \left(-\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \text{ をもつ正方形にうつる。} $$