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東北大学 2007年文系第3問解説

方針・初手

$A(0,0),B(2,0),C(1,\sqrt3)$ は一辺の長さが $2$ の正三角形をなす。

したがって、$y=a$ という水平線で三角形を切ったときの左右の端は、辺 $AC,BC$ との交点で決まる。また、$AP^2+BP^2+CP^2$ は $x$ の2次式、さらに $y$ の2次式になるので、平方完成して最小値を調べればよい。

解法1

(1) まず、辺 $AC,BC$ の方程式を求める。

$A(0,0),C(1,\sqrt3)$ を通る直線 $AC$ は

$$ y=\sqrt3,x $$

である。

また、$B(2,0),C(1,\sqrt3)$ を通る直線 $BC$ は

$$ y=-\sqrt3(x-2)=-\sqrt3,x+2\sqrt3 $$

である。

ここで $P(x,a)$ が $\triangle ABC$ に含まれるためには、水平線 $y=a$ 上で、点 $P$ が辺 $AC$ と辺 $BC$ の間にあればよい。

辺 $AC$ との交点の $x$ 座標は

$$ a=\sqrt3,x $$

より

$$ x=\frac{a}{\sqrt3} $$

である。

辺 $BC$ との交点の $x$ 座標は

$$ a=-\sqrt3,x+2\sqrt3 $$

より

$$ x=2-\frac{a}{\sqrt3} $$

である。

よって、求める範囲は

$$ \frac{a}{\sqrt3}\leqq x\leqq 2-\frac{a}{\sqrt3} $$

である。

(2)

$$ P(x,a) $$

とすると、

$$ AP^2=x^2+a^2 $$

$$ BP^2=(x-2)^2+a^2 $$

$$ CP^2=(x-1)^2+(a-\sqrt3)^2 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} AP^2+BP^2+CP^2 &=x^2+a^2+(x-2)^2+a^2+(x-1)^2+(a-\sqrt3)^2 \ &=3x^2-6x+3a^2-2\sqrt3,a+8 \ &=3(x-1)^2+3a^2-2\sqrt3,a+5 \end{aligned} $$

となる。

ここで (1) より

$$ \frac{a}{\sqrt3}\leqq x\leqq 2-\frac{a}{\sqrt3} $$

であり、$0\leqq a\leqq \sqrt3$ だから

$$ \frac{a}{\sqrt3}\leqq 1\leqq 2-\frac{a}{\sqrt3} $$

が成り立つ。したがって、$x=1$ は常に許される範囲に含まれる。

よって、$3(x-1)^2$ が最小となる $x=1$ のとき最小値をとり、

$$ 3a^2-2\sqrt3,a+5 $$

が最小値である。

(3) 点 $P(x,y)$ が $\triangle ABC$ に含まれるとする。

(2) の計算で $a$ を $y$ に置き換えれば、

$$ AP^2+BP^2+CP^2 =3(x-1)^2+3y^2-2\sqrt3,y+5 $$

である。

これを $y$ について平方完成すると、

$$ \begin{aligned} AP^2+BP^2+CP^2 &=3(x-1)^2+3\left(y-\frac{1}{\sqrt3}\right)^2+4 \end{aligned} $$

となる。

したがって、

$$ AP^2+BP^2+CP^2\geqq 4 $$

であり、等号成立は

$$ x=1,\qquad y=\frac{1}{\sqrt3} $$

のときである。

この点は正三角形の重心にあたり、確かに $\triangle ABC$ の内部にある。

よって、最小値は

$$ 4 $$

であり、そのときの点 $P$ は

$$ \left(1,\frac{1}{\sqrt3}\right) $$

である。

解説

この問題の要点は、正三角形を水平線 $y=a$ で切ったときの断面を捉えることと、距離の2乗和を2次式として処理することである。

(1) では、辺の方程式を立てればすぐに左右端が求まる。 (2) では、$x$ に関する2次式として見れば頂点が $x=1$ にあることが分かる。しかもその $x=1$ が常に許容範囲に入っていることの確認が必要である。 (3) ではさらに $y$ についても平方完成すれば、最小となる点が一意に定まる。

正三角形では、3頂点からの距離の2乗和が最小となる点は重心になる、という典型結果にも対応している。