東京工業大学 1965年 理系 第1問 解説

方針・初手

直線 $x+y-5=0$ に関して、2点 $A, B$ が同じ側にあることを確認する。このような場合、2点からの距離の和 $AP+BP$ を最小にする点 $P$ を求めるには、一方の点を直線に関して対称移動させる手法が定石である。

解法1

直線 $l: x+y-5=0$ とする。

$A(2, 7)$ および $B(13, 0)$ を $x+y-5$ に代入すると、それぞれ $2+7-5 = 4 > 0$、$13+0-5 = 8 > 0$ となり同符号であるため、2点 $A, B$ は直線 $l$ に関して同じ側に存在する。

点 $A$ の直線 $l$ に関する対称点を $A'(p, q)$ とする。 線分 $AA'$ の中点 $\left( \frac{p+2}{2}, \frac{q+7}{2} \right)$ は直線 $l$ 上にあるので、以下の式が成り立つ。

$$ \frac{p+2}{2} + \frac{q+7}{2} - 5 = 0 $$

整理して、

$$ p + q - 1 = 0 $$

また、直線 $AA'$ は直線 $l$ に垂直である。直線 $l$ の傾きは $-1$ であるため、直線 $AA'$ の傾きは $1$ となる。

$$ \frac{q - 7}{p - 2} = 1 $$

整理して、

$$ p - q + 5 = 0 $$

これら2つの式を連立して解くと、$p = -2, q = 3$ となる。 したがって、点 $A'$ の座標は $(-2, 3)$ である。

点 $P$ は直線 $l$ 上にあるため、$AP = A'P$ が成り立つ。 よって、以下の関係が導かれる。

$$ AP + BP = A'P + BP \ge A'B $$

等号が成立し $AP+BP$ が最小となるのは、3点 $A', P, B$ がこの順に一直線上に並ぶとき、すなわち点 $P$ が直線 $l$ と直線 $A'B$ の交点に一致するときである。

直線 $A'B$ の方程式を求める。 2点 $A'(-2, 3), B(13, 0)$ を通る直線の方程式は、

$$ y - 0 = \frac{0 - 3}{13 - (-2)} (x - 13) $$

$$ y = -\frac{1}{5} (x - 13) $$

$$ x + 5y - 13 = 0 $$

点 $P$ はこの直線と直線 $l$ の交点であるため、次の連立方程式を解く。

$$ \begin{cases} x + y - 5 = 0 \\ x + 5y - 13 = 0 \end{cases} $$

第2式から第1式を引くと、

$$ 4y - 8 = 0 $$

これを解いて $y = 2$ となる。 $x + y - 5 = 0$ に代入して、$x = 3$ となる。

解法2

点 $P$ は直線 $x+y-5=0$ 上にあるため、$y = 5-x$ より $P(t, 5-t)$ とおくことができる。 このとき、$AP+BP$ を $t$ の関数 $f(t)$ とする。

$$ \begin{aligned} f(t) &= \sqrt{(t-2)^2 + (5-t-7)^2} + \sqrt{(t-13)^2 + (5-t-0)^2} \\ &= \sqrt{(t-2)^2 + (t+2)^2} + \sqrt{(t-13)^2 + (t-5)^2} \\ &= \sqrt{2t^2 + 8} + \sqrt{2t^2 - 36t + 194} \end{aligned} $$

$f(t)$ を $t$ で微分する。

$$ \begin{aligned} f'(t) &= \frac{4t}{2\sqrt{2t^2+8}} + \frac{4t-36}{2\sqrt{2t^2-36t+194}} \\ &= \frac{2t}{\sqrt{2(t^2+4)}} + \frac{2(t-9)}{\sqrt{2(t^2-18t+97)}} \\ &= \frac{\sqrt{2}t}{\sqrt{t^2+4}} - \frac{\sqrt{2}(9-t)}{\sqrt{t^2-18t+97}} \end{aligned} $$

$f'(t) = 0$ となる $t$ を求める。

$$ \frac{t}{\sqrt{t^2+4}} = \frac{9-t}{\sqrt{t^2-18t+97}} $$

両辺の分母は常に正である。等式が成り立つためには、両辺の分子の符号が一致する必要がある。 $t$ と $9-t$ が同符号であるため、$0 \le t \le 9$ が必要条件となる。

この条件のもとで両辺を2乗して分母を払う。

$$ t^2(t^2-18t+97) = (9-t)^2(t^2+4) $$

$$ t^4 - 18t^3 + 97t^2 = (t^2-18t+81)(t^2+4) $$

$$ t^4 - 18t^3 + 97t^2 = t^4 - 18t^3 + 85t^2 - 72t + 324 $$

$$ 12t^2 + 72t - 324 = 0 $$

$$ t^2 + 6t - 27 = 0 $$

$$ (t+9)(t-3) = 0 $$

$0 \le t \le 9$ を満たすのは $t = 3$ のみである。 前後での $f'(t)$ の符号変化を考えると、$t < 3$ のとき $f'(t) < 0$、$t > 3$ のとき $f'(t) > 0$ となるため、$t = 3$ で $f(t)$ は最小値をとる。

$t=3$ のとき、$y = 5-3 = 2$ となる。

解説

「定直線上の動点を経由する2点間の距離の和の最小値」を求める典型問題である。 解法1のように、直線を対称の軸として一方の点を対称移動させる幾何的なアプローチが最も簡潔で、計算ミスも防ぎやすい王道の手法といえる。 解法2のように座標をパラメータで表して微分を用いて解くことも可能であるが、無理関数の微分や方程式の同値変形（符号の確認を伴う2乗）に注意を払う必要がある。

答え

$(3, 2)$