東北大学 2007年 文系 第4問 解説

方針・初手

右辺の

$$ \int_0^2 |f(t)|,dt $$

は $x$ によらない定数である。したがって，まず

$$ A=\int_0^2 |f(t)|,dt $$

とおくと，$f(x)$ は

$$ f(x)=x^2-Ax=x(x-A) $$

という形に限られる。あとはこの $A$ が自分自身の定義を満たすように決めればよい。

解法1

$$ A=\int_0^2 |f(t)|,dt $$

とおくと，条件より

$$ f(x)=x^2-Ax $$

である。したがって

$$ f(t)=t^2-At=t(t-A) $$

となるから，

$$ A=\int_0^2 |t(t-A)|,dt $$

を満たさねばならない。

ここで $t\in[0,2]$ であるから，$|t(t-A)|$ の形は $A$ の値によって変わる。

(i) $A\geqq 2$ のとき

このとき $0\leqq t\leqq 2$ では常に $t-A\leqq 0$ であるから，

$$ |t(t-A)|=t(A-t) $$

である。よって

$$ A=\int_0^2 t(A-t),dt $$

となる。計算すると

$$ \begin{aligned} A&=\int_0^2 (At-t^2),dt \ &=A\int_0^2 t,dt-\int_0^2 t^2,dt \ &=A\cdot 2-\frac{8}{3}. \end{aligned} $$

したがって

$$ A=2A-\frac{8}{3} $$

より

$$ A=\frac{8}{3} $$

を得る。これは確かに $A\geqq 2$ を満たす。

このとき

$$ f(x)=x^2-\frac{8}{3}x $$

である。

(ii) $0\leqq A\leqq 2$ のとき

このとき $t=A$ を境に符号が変わるので，

$$ A=\int_0^A t(A-t),dt+\int_A^2 t(t-A),dt $$

となる。

前半は

$$ \begin{aligned} \int_0^A t(A-t),dt &=\int_0^A (At-t^2),dt \ &=\left[\frac{A}{2}t^2-\frac{1}{3}t^3\right]_0^A \ &=\frac{A^3}{6}. \end{aligned} $$

後半は

$$ \begin{aligned} \int_A^2 t(t-A),dt &=\int_A^2 (t^2-At),dt \ &=\left[\frac{1}{3}t^3-\frac{A}{2}t^2\right]_A^2 \ &=\frac{8}{3}-2A+\frac{A^3}{6}. \end{aligned} $$

よって

$$ A=\frac{A^3}{6}+\left(\frac{8}{3}-2A+\frac{A^3}{6}\right) =\frac{A^3}{3}-2A+\frac{8}{3}. $$

整理すると

$$ A^3-9A+8=0 $$

すなわち

$$ (A-1)(A^2+A-8)=0 $$

である。

このうち $0\leqq A\leqq 2$ を満たすのは

$$ A=1 $$

だけである。

したがってこの場合は

$$ f(x)=x^2-x $$

である。

以上より，条件を満たす関数は

$$ f(x)=x^2-x,\qquad f(x)=x^2-\frac{8}{3}x $$

の2つである。

解説

この問題の本質は，積分

$$ \int_0^2 |f(t)|,dt $$

が $x$ に関する定数だと見抜くことである。すると $f(x)$ は二次式ではなく，実質的には定数 $A$ を含む一次補正つきの形

$$ f(x)=x(x-A) $$

に落ちる。

その後は，$[0,2]$ 上で $t-A$ の符号がどこで変わるかを丁寧に場合分けすればよい。絶対値を含む積分では，符号の切り替わる点を基準に場合分けするのが基本である。

答え

$$ f(x)=x^2-x $$

または

$$ f(x)=x^2-\frac{8}{3}x $$

である。