東北大学 2016年 文系 第3問 解説

方針・初手

残った部品の個数をそれぞれ $l,m,n$ とすると、残っていたネジの総数が $54$ 本であるから、

$$ 7l+9m+12n=54 $$

を満たす $0$ 以上の整数解を求めればよい。

このまま総当たりするのではなく、まず合同式で $l$ の候補を絞ると整理しやすい。

解法1

与えられた条件は

$$ 7l+9m+12n=54 $$

である。

ここで両辺を $3$ で割った余りに注目すると、

$$ 7l+9m+12n \equiv l \pmod{3} $$

であり、右辺 $54$ は $3$ の倍数であるから、

$$ l \equiv 0 \pmod{3} $$

となる。したがって $l$ は $3$ の倍数であり、さらに $7l \le 54$ より

$$ l=0,3,6 $$

しかありえない。

(i)

$l=0$ のとき

$$ 9m+12n=54 $$

すなわち

$$ 3m+4n=18 $$

である。ここで $3m=18-4n$ であるから、右辺が $3$ の倍数になる必要がある。 $4n \equiv n \pmod{3}$ なので、

$$ 18-4n \equiv -n \equiv 0 \pmod{3} $$

より $n$ は $3$ の倍数である。 また $4n \le 18$ より $n=0,3$ である。

• $n=0$ のとき $3m=18$ より $m=6$
• $n=3$ のとき $3m=6$ より $m=2$

したがって

$$ (l,m,n)=(0,6,0),(0,2,3) $$

である。

(ii)

$l=3$ のとき

$$ 21+9m+12n=54 $$

より

$$ 9m+12n=33 $$

すなわち

$$ 3m+4n=11 $$

である。これも同様に、$11-4n$ が $3$ の倍数である必要があるから、

$$ 11-4n \equiv 2-n \equiv 0 \pmod{3} $$

より

$$ n \equiv 2 \pmod{3} $$

となる。さらに $4n \le 11$ より $n=2$ しかない。

このとき

$$ 3m+8=11 $$

より

$$ m=1 $$

である。したがって

$$ (l,m,n)=(3,1,2) $$

である。

(iii)

$l=6$ のとき

$$ 42+9m+12n=54 $$

より

$$ 9m+12n=12 $$

すなわち

$$ 3m+4n=4 $$

である。ここで $4n \le 4$ より $n=0,1$ であるが、

• $n=0$ なら $3m=4$ となり不適
• $n=1$ なら $3m=0$ より $m=0$

したがって

$$ (l,m,n)=(6,0,1) $$

である。

以上より、可能な組はすべて

$$ (0,6,0),\ (0,2,3),\ (3,1,2),\ (6,0,1) $$

である。

解説

この問題は、条件を式

$$ 7l+9m+12n=54 $$

に落とし込めば、不定方程式の整数解を求める問題になる。

ポイントは、いきなり $m,n$ を動かして調べるのではなく、まず $\bmod 3$ を見ることで $l$ が $3$ の倍数に限られると分かることである。これにより $l$ の候補が $0,3,6$ の3通りに絞られ、あとはそれぞれについて簡単な一次不定方程式を解けばよい。

このように、整数解の問題では「係数の中に共通して扱いやすい法がないか」を最初に確認すると、見通しがよくなる。

答え

$$ (l,m,n)=(0,6,0),\ (0,2,3),\ (3,1,2),\ (6,0,1) $$

である。