東北大学 2016年 文系 第2問 解説

方針・初手

(1) は $|x|$ を $t\ (\geqq 0)$ とおけば、共有点の条件を $k$ の取りうる値の範囲に直せる。

(2) はグラフ $y=-2|x-a|+b$ を、頂点 $(a,b)$ を境にした 2 本の半直線として考える。右側の半直線と左側の半直線が、それぞれ放物線 $C:y=-\dfrac12x^2$ とちょうど 2 点ずつ交われば、全体で共有点はちょうど 4 個になる。

解法1

（1）

共有点の $x$ 座標を $x$ とすると、

$$ -\frac12x^2=-2|x|+k $$

である。ここで $t=|x| \ (\geqq 0)$ とおくと、

$$ k=-\frac12t^2+2t $$

となる。右辺を平方完成すると、

$$ k=-\frac12(t-2)^2+2 $$

であるから、$t\geqq 0$ における右辺の最大値は $2$ である。

また、$t\to\infty$ とすると $-\dfrac12t^2+2t\to-\infty$ であるから、取りうる値の範囲は

$$ (-\infty,,2] $$

である。

したがって、求める $k$ の範囲は

$$ k\leqq 2 $$

である。

（2）

$G:y=-2|x-a|+b$ とおく。

このグラフは、頂点 $(a,b)$ を境にして

$$ y=-2(x-a)+b=-2x+2a+b \qquad (x\geqq a) $$

と

$$ y=2(x-a)+b=2x-2a+b \qquad (x\leqq a) $$

の 2 本の半直線からなる。

右側の半直線について

放物線 $C$ との共有点は

$$ -\frac12x^2=-2x+2a+b $$

すなわち

$$ \phi_1(x):=-\frac12x^2+2x-(2a+b)=0 $$

の解で、しかも $x\geqq a$ を満たすものである。

$\phi_1(x)$ は下に凸の 2 次関数で、軸は $x=2$ である。右側半直線上で共有点がちょうど 2 個あるための条件は、

• 軸が区間 $[a,\infty)$ の内部にあること
• $x=a$ で負
• 最大値が正

である。したがって

$$ a<2, $$

$$ \phi_1(a)=-\frac12a^2-b<0, $$

$$ \phi_1(2)=2-2a-b>0 $$

が必要十分である。

よって

$$ a<2,\qquad b>-\frac12a^2,\qquad b<2-2a $$

を得る。

左側の半直線について

同様に、共有点は

$$ -\frac12x^2=2x-2a+b $$

すなわち

$$ \phi_2(x):=-\frac12x^2-2x+2a-b=0 $$

の解で、しかも $x\leqq a$ を満たすものである。

$\phi_2(x)$ の軸は $x=-2$ である。左側半直線上で共有点がちょうど 2 個あるための条件は、

• 軸が区間 $(-\infty,a]$ の内部にあること
• $x=a$ で負
• 最大値が正

であるから

$$ a>-2, $$

$$ \phi_2(a)=-\frac12a^2-b<0, $$

$$ \phi_2(-2)=2+2a-b>0 $$

が必要十分である。

よって

$$ a>-2,\qquad b>-\frac12a^2,\qquad b<2+2a $$

を得る。

まとめ

共有点がちょうど 4 個あるためには、左右それぞれで 2 個ずつ共有点をもてばよいから、両方の条件を合わせて

$$ -2<a<2,\qquad -\frac12a^2<b<2-2a,\qquad -\frac12a^2<b<2+2a $$

である。

したがって

$$ D=\left{(a,b)\ \middle|\ -2<a<2,\ -\frac12a^2<b<2-2|a|\right} $$

である。

すなわち、横軸を $a$、縦軸を $b$ とみると、領域 $D$ は

• 下側境界：放物線 $b=-\dfrac12a^2$
• 上側境界：2 直線 $b=2+2a\ (-2<a\leqq 0)$、$b=2-2a\ (0\leqq a<2)$

に挟まれた開領域である。

（3）

左右対称であるから、面積を $S$ とすると

$$ S=2\int_0^2\left{(2-2a)-\left(-\frac12a^2\right)\right},da $$

である。よって

$$ \begin{aligned} S &=2\int_0^2\left(2-2a+\frac12a^2\right),da \\ &=2\left[2a-a^2+\frac16a^3\right]_0^2 \\ &=2\left(4-4+\frac{8}{6}\right) \\ &=\frac83 \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の要点は、$y=-2|x-a|+b$ を 1 本の折れ線として見るのではなく、傾き $-2$ と $2$ の 2 本の半直線に分けることである。

各半直線と放物線の共有点の個数は、対応する 2 次関数がその半直線の定義域で 2 回 $x$ 軸と交わる条件に言い換えられる。そのため、

• 軸が定義域の内側にあること
• 端点で負であること
• 頂点値が正であること

の 3 条件を立てれば、共有点がちょうど 2 個となる条件を機械的に整理できる。

また、$b=-\dfrac12a^2$ は頂点 $(a,b)$ が放物線上にある場合であり、このとき共有点は 4 個にならない。上側境界の 2 直線は、どちらか一方の半直線が放物線に接する場合に対応している。

答え

$$ \text{(1)}\quad k\leqq 2 $$

$$ \text{(2)}\quad D=\left{(a,b)\ \middle|\ -2<a<2,\ -\frac12a^2<b<2-2|a|\right} $$

$$ \text{(3)}\quad \text{面積 }=\frac83 $$