トップ› 東北大学› 2023年› 文系第4問

東北大学 2023年文系第4問解説

方針・初手

線分 $PQ$ 上の点を

$$ R=(x+t,\ f(x)+t)\qquad (0\le t\le 1) $$

と表す。

ここで $u=x+t$ とおくと，$R$ の $y$ 座標は

$$ y=f(x)+t=f(x)+(u-x)=u+{f(x)-x} $$

となる。したがって，$u$ を固定したときに線分群が通過する縦の切り口は， $g(x)=f(x)-x$ とおけば

$$ x\in I_u=[\max(0,u-1),\ \min(2,u)] $$

に対する $u+g(x)$ の取り得る範囲である。よって切り口の長さは

$$ \max_{x\in I_u}g(x)-\min_{x\in I_u}g(x) $$

であり，面積 $S$ はこれを $0\le u\le 3$ で積分すれば求まる。

解法1

(1)

$f(x)=-2|x-1|+2$ のとき

まず

$$ f(x)= \begin{cases} 2x & (0\le x\le 1),\\ -2x+4 & (1\le x\le 2) \end{cases} $$

であるから，

$$ g(x)=f(x)-x= \begin{cases} x & (0\le x\le 1),\\ -3x+4 & (1\le x\le 2) \end{cases} $$

となる。

よって $g(x)$ は $x=1$ までは増加し，その後は減少する。

$u$ の範囲ごとに切り口の長さを求める。

(i)

$0\le u\le 1$ のとき

このとき

$$ I_u=[0,u] $$

であり，この区間では $g(x)=x$ だから増加する。したがって

$$ \max g=u,\qquad \min g=0 $$

より，切り口の長さは

$$ h(u)=u $$

である。

(ii)

$1\le u\le 2$ のとき

このとき

$$ I_u=[u-1,u] $$

であり，区間は常に $x=1$ を含む。したがって最大値は

$$ \max g=g(1)=1 $$

である。

一方，最小値は両端で比較すればよく，

$$ g(u-1)=u-1,\qquad g(u)=-3u+4 $$

であるから，

$$ u-1=-3u+4 $$

より分岐点は

$$ u=\frac54 $$

となる。よって

$$ h(u)= \begin{cases} 1-(u-1)=2-u & \left(1\le u\le \frac54\right),\\ 1-(-3u+4)=3u-3 & \left(\frac54\le u\le 2\right). \end{cases} $$

(iii)

$2\le u\le 3$ のとき

このとき

$$ I_u=[u-1,2] $$

であり，区間全体が $1\le x\le 2$ に入るので，$g(x)=-3x+4$ は減少する。したがって

$$ \max g=g(u-1),\qquad \min g=g(2)=-2 $$

より，

$$ h(u)=g(u-1)-g(2)=(-3(u-1)+4)-(-2)=9-3u $$

である。

したがって面積は

$$ \begin{aligned} S &=\int_0^1 u,du+\int_1^{5/4}(2-u),du+\int_{5/4}^2(3u-3),du+\int_2^3(9-3u),du\\ &=\frac12+\frac{7}{32}+\frac{45}{32}+\frac32\\ &=\frac{29}{8}. \end{aligned} $$

(2)

$f(x)=\dfrac12(x-1)^2$ のとき，傾きが $1$ の接線

接線の傾きは $f'(x)$ であるから，

$$ f'(x)=x-1 $$

である。

傾きが $1$ となるのは

$$ x-1=1 $$

すなわち

$$ x=2 $$

のときである。

このとき

$$ f(2)=\frac12 $$

であるから，接点は $(2,\frac12)$ である。よって接線の方程式は

$$ y-\frac12=1(x-2) $$

すなわち

$$ y=x-\frac32 $$

である。

(3)

$f(x)=\dfrac12(x-1)^2$ のとき

このとき

$$ g(x)=f(x)-x=\frac12(x-1)^2-x=\frac12x^2-2x+\frac12 $$

であり，

$$ g'(x)=x-2 $$

だから，$0\le x\le 2$ では $g'(x)\le 0$ である。したがって $g(x)$ は区間 $[0,2]$ で単調減少する。

よって各 $u$ に対し，切り口の長さは常に区間 $I_u$ の左端で最大，右端で最小となる。

(i)

$0\le u\le 1$ のとき

$$ I_u=[0,u] $$

であるから，

$$ h(u)=g(0)-g(u) $$

である。ここで

$$ g(0)=\frac12,\qquad g(u)=\frac12u^2-2u+\frac12 $$

より，

$$ h(u)=\frac12-\left(\frac12u^2-2u+\frac12\right)=2u-\frac12u^2 $$

となる。

(ii)

$1\le u\le 2$ のとき

$$ I_u=[u-1,u] $$

であるから，

$$ h(u)=g(u-1)-g(u) $$

である。

まず

$$ g(u-1)=\frac12(u-1)^2-2(u-1)+\frac12=\frac12u^2-3u+3 $$

だから，

$$ h(u)=\left(\frac12u^2-3u+3\right)-\left(\frac12u^2-2u+\frac12\right)=\frac52-u $$

となる。

(iii)

$2\le u\le 3$ のとき

$$ I_u=[u-1,2] $$

であるから，

$$ h(u)=g(u-1)-g(2) $$

である。ここで

$$ g(2)=\frac12(2-1)^2-2=-\frac32 $$

より，

$$ h(u)=\left(\frac12u^2-3u+3\right)-\left(-\frac32\right)=\frac12u^2-3u+\frac92 $$

すなわち

$$ h(u)=\frac12(u-3)^2 $$

となる。

したがって

$$ \begin{aligned} S &=\int_0^1\left(2u-\frac12u^2\right),du+\int_1^2\left(\frac52-u\right),du+\int_2^3\frac12(u-3)^2,du\\ &=\frac56+1+\frac16\\ &=2. \end{aligned} $$