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東京大学 2017年理系第4問解説

方針・初手

$q = -\frac{1}{p}$ とおくと、$a_n = p^n + q^n$ と表せる。$p+q$ と $pq$ の値を求め、対称式の性質や隣接三項間漸化式を利用してアプローチする。特に（2）で得られる漸化式が、（3）の数学的帰納法や（4）のユークリッドの互除法の要となる。

解法1

$q = -\frac{1}{p}$ とおく。

$$ q = -\frac{1}{2+\sqrt{5}} = -\frac{2-\sqrt{5}}{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})} = -\frac{2-\sqrt{5}}{4-5} = 2-\sqrt{5} $$

これより、$a_n = p^n + q^n$ と表せる。また、$p+q$ と $pq$ の値は以下のようになる。

$$ p+q = (2+\sqrt{5}) + (2-\sqrt{5}) = 4 $$

$$ pq = (2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5}) = 4 - 5 = -1 $$

(1)

$a_1 = p+q = 4$

$a_2 = p^2+q^2 = (p+q)^2 - 2pq = 4^2 - 2(-1) = 18$

設問の指示により、結論のみを解答とする。

(2)

$a_1 = p+q$、$a_n = p^n+q^n$ より、積 $a_1 a_n$ を展開する。

$$ a_1 a_n = (p+q)(p^n+q^n) = p^{n+1} + pq^n + qp^n + q^{n+1} $$

式を整理し、$pq=-1$ を代入する。

$$ a_1 a_n = (p^{n+1}+q^{n+1}) + pq(p^{n-1}+q^{n-1}) = a_{n+1} - a_{n-1} $$

(3)

数学的帰納法を用いて、$a_n$ が自然数であることを示す。

(i)

$n=1, 2$ のとき

（1）より $a_1 = 4$、$a_2 = 18$ であり、ともに自然数である。よって $n=1, 2$ のとき成り立つ。

(ii)

$n=k, k+1$ （$k$ は自然数）のとき成り立つと仮定する。

すなわち、$a_k$ と $a_{k+1}$ が自然数であると仮定する。

（2）の結果より、$a_{n+1} = a_1 a_n + a_{n-1} = 4a_n + a_{n-1}$ と変形できるので、$n=k+1$ を代入すると次の関係式が得られる。

$$ a_{k+2} = 4a_{k+1} + a_k $$

仮定より $a_{k+1}, a_k$ は自然数であり、$4$ も自然数であるから、$4a_{k+1} + a_k$ すなわち $a_{k+2}$ も自然数となる。よって $n=k+2$ のときも成り立つ。

（i）,（ii）より、すべての自然数 $n$ について $a_n$ は自然数である。

(4)

$a_{n+1}$ と $a_n$ の最大公約数を $\gcd(a_{n+1}, a_n)$ と表す。

（2）で得られた漸化式 $a_{n+1} = 4a_n + a_{n-1}$ より、ユークリッドの互除法の原理から以下が成り立つ。

$$ \gcd(a_{n+1}, a_n) = \gcd(4a_n + a_{n-1}, a_n) = \gcd(a_{n-1}, a_n) = \gcd(a_n, a_{n-1}) $$

この関係を繰り返し用いると、次のように次数を下げることができる。

$$ \gcd(a_{n+1}, a_n) = \gcd(a_n, a_{n-1}) = \cdots = \gcd(a_2, a_1) $$

（1）より $a_2 = 18$、$a_1 = 4$ であるから、

$$ \gcd(a_2, a_1) = \gcd(18, 4) = 2 $$

したがって、$a_{n+1}$ と $a_n$ の最大公約数は $2$ である。

解説

2つの数 $p = 2+\sqrt{5}$、$q = 2-\sqrt{5}$ の対称式に関する典型的な問題である。和 $p+q$ と積 $pq$ が整数になるため、$p^n+q^n$ を漸化式を用いて整数（自然数）であることを証明する手法は頻出である。（4）における隣接二項の最大公約数を求める過程も、漸化式を利用してユークリッドの互除法を適用する定石に沿っている。