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東京大学 2003年文系第3問解説

方針・初手

(1)は解と係数の関係および $\alpha, \beta$ が方程式の解であることを利用して式の値を求め、漸化式を導出する。
（2）は（1）で求めた漸化式を用いて数学的帰納法により $s_n$ が整数であることを示し、1の位の数については漸化式を法 $10$ で考えることで周期性を見つける。
(3)は $s_n = \alpha^n + \beta^n$ と $0 < \beta < 1$ であることを利用し、$\alpha^n$ がどのような整数の間にあるかを評価する。

解法1

(1) 2次方程式 $x^2 - 4x + 1 = 0$ の解と係数の関係より、

$$ \begin{aligned} \alpha + \beta &= 4 \\ \alpha\beta &= 1 \end{aligned} $$

が成り立つ。これを用いると、$s_1, s_2, s_3$ は次のように計算できる。

$$ s_1 = \alpha + \beta = 4 $$

$$ \begin{aligned} s_2 &= \alpha^2 + \beta^2 \\ &= (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta \\ &= 4^2 - 2 \cdot 1 \\ &= 14 \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} s_3 &= \alpha^3 + \beta^3 \\ &= (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) \\ &= 4^3 - 3 \cdot 1 \cdot 4 \\ &= 64 - 12 \\ &= 52 \end{aligned} $$

また、$\alpha, \beta$ は方程式 $x^2 - 4x + 1 = 0$ の解であるから、

$$ \begin{aligned} \alpha^2 - 4\alpha + 1 &= 0 \\ \beta^2 - 4\beta + 1 &= 0 \end{aligned} $$

すなわち、

$$ \begin{aligned} \alpha^2 &= 4\alpha - 1 \\ \beta^2 &= 4\beta - 1 \end{aligned} $$

が成り立つ。$n \geqq 3$ のとき、それぞれの両辺に $\alpha^{n-2}, \beta^{n-2}$ を掛けると、

$$ \begin{aligned} \alpha^n &= 4\alpha^{n-1} - \alpha^{n-2} \\ \beta^n &= 4\beta^{n-1} - \beta^{n-2} \end{aligned} $$

この2式の辺々を足し合わせると、

$$ \alpha^n + \beta^n = 4(\alpha^{n-1} + \beta^{n-1}) - (\alpha^{n-2} + \beta^{n-2}) $$

よって、求める漸化式は以下のようになる。

$$ s_n = 4s_{n-1} - s_{n-2} $$

(2) $s_n$ が正の整数であることを示す。 $\alpha = 2 + \sqrt{3}, \beta = 2 - \sqrt{3}$ であり、$\alpha > 0, \beta > 0$ であるから、$n \geqq 1$ において $\alpha^n > 0, \beta^n > 0$ となり、$s_n = \alpha^n + \beta^n > 0$ であることは明らかである。次に、数学的帰納法によって $s_n$ が整数であることを示す。

(i)

$n=1, 2$ のとき (1)より $s_1 = 4, s_2 = 14$ であり、これらは整数である。よって成り立つ。

(ii)

$n=k, k+1$ ($k \geqq 1$) のとき $s_k, s_{k+1}$ がともに整数であると仮定する。 $n=k+2$ のとき、（1）で求めた漸化式より、

$$ s_{k+2} = 4s_{k+1} - s_k $$

仮定より $s_{k+1}, s_k$ は整数であるから、$4s_{k+1} - s_k$ も整数となり、$s_{k+2}$ も整数である。

（i）, （ii）より、すべての自然数 $n$ について $s_n$ は整数である。したがって、$s_n > 0$ とあわせて、$s_n$ は正の整数であることが示された。

次に、$s_{2003}$ の1の位の数を求める。 $s_n$ の1の位の数を $a_n$ とおくと、$a_n$ は $s_n$ を $10$ で割った余りに等しい。合同式を法 $10$ として考えると、漸化式より $a_n \equiv 4a_{n-1} - a_{n-2} \pmod{10}$ が成り立つ。 $a_n$ の値を順に計算していく。

$$ \begin{aligned} a_1 &= 4 \\ a_2 &= 4 \quad (\because 14 \equiv 4) \\ a_3 &\equiv 4 \cdot 4 - 4 = 12 \equiv 2 \\ a_4 &\equiv 4 \cdot 2 - 4 = 4 \\ a_5 &\equiv 4 \cdot 4 - 2 = 14 \equiv 4 \\ a_6 &\equiv 4 \cdot 4 - 4 = 12 \equiv 2 \end{aligned} $$

このように、$a_n$ は $4, 4, 2$ の周期 $3$ で繰り返されることがわかる。 $2003$ を $3$ で割ると、

$$ 2003 = 3 \times 667 + 2 $$

余りが $2$ であるから、$a_{2003}$ は周期の2番目の数に等しい。よって、$s_{2003}$ の1の位の数は $4$ である。

(3) $\alpha^{2003}$ 以下の最大の整数の1の位の数を求める。 $s_n = \alpha^n + \beta^n$ より、

$$ \alpha^n = s_n - \beta^n $$

ここで、$\beta = 2 - \sqrt{3}$ であり、$1.73 < \sqrt{3} < 1.74$ より、

$$ 0 < \beta < 1 $$

である。したがって、任意の自然数 $n$ について、

$$ 0 < \beta^n < 1 $$

が成り立つ。これを $\alpha^n$ の式に適用すると、

$$ s_n - 1 < \alpha^n < s_n $$

となる。(2)より $s_n$ は整数であるから、$\alpha^n$ 以下の最大の整数は $s_n - 1$ である。したがって、$\alpha^{2003}$ 以下の最大の整数は $s_{2003} - 1$ である。 (2)の結果より、$s_{2003}$ の1の位の数は $4$ であるため、$s_{2003} - 1$ の1の位の数は $4 - 1 = 3$ となる。

解説

$s_n = \alpha^n + \beta^n$ のような対称式の値の列は、2次方程式の解であることを利用して隣接3項間の漸化式を作るのが典型的な手法である。
無理数の累乗の小数部分や整数部分を問われる問題では、その共役無理数（この場合は $\beta$）を導入して $\alpha^n + \beta^n$ が整数になることを利用し、$0 < \beta < 1$ などの評価から整数部分を絞り込むのが常套手段となる。