東北大学 1968年 理系 第2問 解説

方針・初手

求めたいものは、点 $B(a, 0)$ における接線上の2点 $P, Q$ の $y$ 座標の積の絶対値です。 直線 $MN$ の方程式を設定し、楕円の方程式と連立して解と係数の関係を用いる方針が確実です。直線 $MN$ が $y$ 軸に平行になる場合を考慮し、$y = m(x-c)$ ではなく $x = my + c$ とおくのが計算の工夫となります。 また、楕円の媒介変数表示を用いると、図形的な性質と三角関数の公式を組み合わせて美しく解くことも可能です。

解法1

点 $B(a, 0)$ における楕円の接線は直線 $x = a$ である。 点 $C(c, 0)$ を通る直線と楕円の交点を $M(x_1, y_1), N(x_2, y_2)$ とおく。 交点 $M, N$ は $A(-a, 0)$ と異なる点であるため、直線 $MN$ は $x$ 軸とは異なる。したがって、直線 $MN$ の方程式を $x = my + c$ とおくことができる。

直線 $AM$ は点 $A(-a, 0)$ と $M(x_1, y_1)$ を通るから、その方程式は

$$ y = \frac{y_1}{x_1 + a}(x + a) $$

点 $P$ は直線 $AM$ と接線 $x = a$ の交点であるから、点 $P$ の $y$ 座標を $y_P$ とすると

$$ y_P = \frac{2a y_1}{x_1 + a} $$

同様に、点 $Q$ は直線 $AN$ と接線 $x = a$ の交点であるから、点 $Q$ の $y$ 座標を $y_Q$ とすると

$$ y_Q = \frac{2a y_2}{x_2 + a} $$

求める線分 $BP, BQ$ の長さの積は、点 $B$ の $y$ 座標が $0$ であるため、次のように表される。

$$ BP \cdot BQ = |y_P| |y_Q| = \left| \frac{4a^2 y_1 y_2}{(x_1 + a)(x_2 + a)} \right| $$

次に、直線 $x = my + c$ を楕円の方程式 $b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2$ に代入して整理する。

$$ b^2(my + c)^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2 $$

$$ (b^2 m^2 + a^2)y^2 + 2b^2 mc y + b^2(c^2 - a^2) = 0 $$

$y_1, y_2$ はこの2次方程式の実数解であるから、解と係数の関係より

$$ \begin{aligned} y_1 + y_2 &= -\frac{2b^2 mc}{b^2 m^2 + a^2} \\ y_1 y_2 &= \frac{b^2(c^2 - a^2)}{b^2 m^2 + a^2} \end{aligned} $$

ここで、$x_1 + a = my_1 + c + a$, $x_2 + a = my_2 + c + a$ を用いて、積 $(x_1 + a)(x_2 + a)$ を計算する。

$$ \begin{aligned} (x_1 + a)(x_2 + a) &= (my_1 + c + a)(my_2 + c + a) \\ &= m^2 y_1 y_2 + m(c + a)(y_1 + y_2) + (c + a)^2 \end{aligned} $$

解と係数の関係を代入する。

$$ (x_1 + a)(x_2 + a) = \frac{m^2 b^2(c^2 - a^2) - 2m^2 b^2 c(c + a) + (b^2 m^2 + a^2)(c + a)^2}{b^2 m^2 + a^2} $$

分子を展開して整理する。$m^2 b^2$ でくくれる項に着目すると

$$ m^2 b^2 \{ (c^2 - a^2) - 2c(c + a) + (c + a)^2 \} + a^2(c + a)^2 $$

中括弧の中は $c^2 - a^2 - 2c^2 - 2ac + c^2 + 2ac + a^2 = 0$ となるため、分子は $a^2(c + a)^2$ となる。 したがって

$$ (x_1 + a)(x_2 + a) = \frac{a^2(c + a)^2}{b^2 m^2 + a^2} $$

よって

$$ \frac{y_1 y_2}{(x_1 + a)(x_2 + a)} = \frac{ \frac{b^2(c^2 - a^2)}{b^2 m^2 + a^2} }{ \frac{a^2(c + a)^2}{b^2 m^2 + a^2} } = \frac{b^2(c - a)(c + a)}{a^2(c + a)^2} $$

条件 $c \neq -a$ より $c + a \neq 0$ であるから、約分して

$$ \frac{y_1 y_2}{(x_1 + a)(x_2 + a)} = \frac{b^2(c - a)}{a^2(c + a)} $$

これを $BP \cdot BQ$ の式に代入する。

$$ BP \cdot BQ = \left| 4a^2 \cdot \frac{b^2(c - a)}{a^2(c + a)} \right| = \frac{4b^2 |c - a|}{|c + a|} $$

解法2

楕円上の点 $M, N$ を媒介変数を用いて表す。$M(a \cos\alpha, b \sin\alpha)$, $N(a \cos\beta, b \sin\beta)$ とおく。 直線 $AM$ の傾きは

$$ \frac{b \sin\alpha}{a \cos\alpha + a} = \frac{b \cdot 2 \sin\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2}}{a \cdot 2 \cos^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{b}{a} \tan\frac{\alpha}{2} $$

（$M$ は $A$ と異なるため $\cos\frac{\alpha}{2} \neq 0$ である） 直線 $AM$ の方程式は $y = \frac{b}{a} \tan\frac{\alpha}{2} \cdot (x + a)$ となる。 点 $P$ はこれと $x = a$ の交点であるから

$$ y_P = \frac{b}{a} \tan\frac{\alpha}{2} \cdot 2a = 2b \tan\frac{\alpha}{2} $$

同様に、点 $Q$ の $y$ 座標は $y_Q = 2b \tan\frac{\beta}{2}$ となる。 したがって

$$ BP \cdot BQ = |y_P| |y_Q| = 4b^2 \left| \tan\frac{\alpha}{2} \tan\frac{\beta}{2} \right| $$

一方、3点 $M, N, C(c, 0)$ は一直線上にあるから、線分 $CM$ と $CN$ の傾きは等しい。

$$ \frac{b \sin\alpha}{a \cos\alpha - c} = \frac{b \sin\beta}{a \cos\beta - c} $$

分母を払って整理する。

$$ b \sin\alpha (a \cos\beta - c) = b \sin\beta (a \cos\alpha - c) $$

$$ a (\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta) = c (\sin\alpha - \sin\beta) $$

$$ a \sin(\alpha - \beta) = c (\sin\alpha - \sin\beta) $$

和積の公式等を用いて変形する。

$$ a \cdot 2 \sin\frac{\alpha - \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2} = c \cdot 2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2} $$

$M$ と $N$ は異なる点であるから $\sin\frac{\alpha - \beta}{2} \neq 0$ となり、両辺を割ることができる。

$$ a \cos\frac{\alpha - \beta}{2} = c \cos\frac{\alpha + \beta}{2} $$

加法定理より

$$ a \left( \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2} + \sin\frac{\alpha}{2} \sin\frac{\beta}{2} \right) = c \left( \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2} - \sin\frac{\alpha}{2} \sin\frac{\beta}{2} \right) $$

両辺を $\cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2} \neq 0$ で割る。

$$ a \left( 1 + \tan\frac{\alpha}{2} \tan\frac{\beta}{2} \right) = c \left( 1 - \tan\frac{\alpha}{2} \tan\frac{\beta}{2} \right) $$

$T = \tan\frac{\alpha}{2} \tan\frac{\beta}{2}$ とおくと

$$ a(1 + T) = c(1 - T) $$

$$ (c + a)T = c - a $$

条件 $c \neq -a$ より $T = \frac{c - a}{c + a}$ となる。ゆえに

$$ BP \cdot BQ = 4b^2 |T| = \frac{4b^2 |c - a|}{|c + a|} $$

解説

解法1の代数的なアプローチでは、直線の式を $y = m(x-c)$ ではなく $x = my + c$ とおくことがポイントです。これにより、$x$ 軸に垂直な直線を場合分けせずに一般的に扱うことができます。また、交点の座標を直接求めず、対称式と「解と係数の関係」を用いて計算量を削減する手法は二次曲線における王道です。

解法2は、楕円の媒介変数表示と半角の正接（$\tan\frac{\theta}{2}$）を利用した鮮やかな解法です。楕円上の点と長軸の端点とを結ぶ直線の傾きは、パラメータの半角の正接として非常にシンプルに表せます。さらに、3点が同一直線上にある（共線）条件を三角関数の和積の公式で処理することで、計算の見通しが劇的に良くなります。

答え

$$ \frac{4b^2 |c - a|}{|c + a|} $$