東北大学 1985年 理系 第6問 解説

方針・初手

円は平面 $x+2y+2z=9$ 上にあり，その中心は $A(5,-1,3)$，半径は $2$ である。

点 $P$ は常にこの平面上にあるので，まず原点 $O$ からこの平面への垂線の足を求める。すると，$OP^2$ は

$$ OP^2=OH^2+HP^2 $$

と分解できる。したがって，問題は平面内で点 $H$ から円周上の点 $P$ までの距離 $HP$ の最小値を求めることに帰着する。

解法1

平面の法線ベクトルは

$$ \vec{n}=(1,2,2) $$

である。原点 $O=(0,0,0)$ から平面 $x+2y+2z=9$ への距離は

$$ \frac{|0+0+0-9|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}} =\frac{9}{3} =3 $$

である。

さらに，原点から平面への垂線の足を $H$ とすると，$H$ は法線方向上にあるから

$$ H=t(1,2,2) $$

とおける。これを平面の方程式に代入すると

$$ t+2(2t)+2(2t)=9 $$

すなわち

$$ 9t=9 $$

より

$$ t=1 $$

である。したがって

$$ H=(1,2,2) $$

となる。

ここで $P$ は平面上の点なので，$\angle OHP=90^\circ$ であり，

$$ OP^2=OH^2+HP^2 $$

が成り立つ。よって $OP^2$ を最小にするには，$HP$ を最小にすればよい。

次に，$H$ と円の中心 $A$ との距離を求める。

$$ \overrightarrow{HA}=(5-1,,-1-2,,3-2)=(4,-3,1) $$

より

$$ HA=\sqrt{4^2+(-3)^2+1^2} =\sqrt{16+9+1} =\sqrt{26} $$

である。

円の半径は $2$ であるから，$H$ から円周上の点までの最短距離は

$$ \sqrt{26}-2 $$

である。したがって

$$ OP^2_{\min}=OH^2+(\sqrt{26}-2)^2 $$

となる。

$$ OP^2_{\min}=3^2+(\sqrt{26}-2)^2 $$

$$ =9+(26-4\sqrt{26}+4) $$

$$ =39-4\sqrt{26} $$

ゆえに，求める最小値は

$$ 39-4\sqrt{26} $$

である。

解説

空間上の円の問題であっても，点 $P$ が動く範囲は一つの平面内に限られている。したがって，まず原点からその平面への垂線の足 $H$ を取ると，

$$ OP^2=OH^2+HP^2 $$

と直角三角形の関係に持ち込める。あとは平面内の図形問題として，「点 $H$ から円周までの最短距離」を考えればよい。

この問題では，$H$ は円の外部にあるので，最短距離は中心までの距離から半径を引いた $\sqrt{26}-2$ になる。

答え

$$ \overline{OP}^2 \text{ の最小値 }=39-4\sqrt{26} $$