東北大学 1985年 理系 第5問 解説

方針・初手

まず媒介変数表示を微分して、曲線 $C$ の接ベクトルと速さを求める。

すると弧長 $l$ はそのまま積分で求まり、さらに接線方向の単位ベクトルも得られるので、点 $Q$ は 「点 $P$ から接線方向へ長さ $l$ だけ進んだ点」として座標表示できる。

最後は、$Q$ の座標を整理して、曲線 $C$ の $\pi<t<2\pi$ の部分がどの合同変換で移るかを示せばよい。

解法1

点 $P$ の対応する媒介変数を $t\ (0<t<\pi)$ とすると、

$$ P=(t+\sin t,\ \cos t-1) $$

である。

曲線 $C$ を

$$ x=t+\sin t,\qquad y=\cos t-1 $$

とおくと、

$$ \frac{dx}{dt}=1+\cos t,\qquad \frac{dy}{dt}=-\sin t $$

であるから、速さは

$$ \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} =\sqrt{(1+\cos t)^2+\sin^2 t} =\sqrt{2+2\cos t} =2\cos\frac t2 $$

となる。ここで $0<t<\pi$ なので $\cos \dfrac t2>0$ を用いた。

(1) 弧の長さ $l$

点 $O(0,0)$ は $t=0$ に対応する点であるから、$O$ から $P$ までの弧長 $l$ は

$$ l=\int_0^t 2\cos\frac u2,du =4\sin\frac t2 $$

である。

したがって、

$$ l=4\sin\frac t2 $$

である。

(2) 点 $Q$ の座標

点 $P$ における接ベクトルは

$$ \left(1+\cos t,\ -\sin t\right) $$

であり、その長さは $2\cos \dfrac t2$ であるから、接線方向の単位ベクトルは

$$ \left(\cos\frac t2,\ -\sin\frac t2\right) $$

である。

このベクトルは $x$ 成分が正であるので右向きである。問題では $Q$ は $P$ より左側にあるから、$P$ から $Q$ への向きはその反対向きであり、

$$ \overrightarrow{PQ} =l\left(-\cos\frac t2,\ \sin\frac t2\right) $$

である。

よって

$$ Q = \left(t+\sin t,\ \cos t-1\right) + 4\sin\frac t2\left(-\cos\frac t2,\ \sin\frac t2\right) $$

となる。

これを整理すると、

$$ x_Q=t+\sin t-4\sin\frac t2\cos\frac t2 =t+\sin t-2\sin t =t-\sin t $$

また、

$$ y_Q=\cos t-1+4\sin^2\frac t2 =\cos t-1+2(1-\cos t) =1-\cos t $$

である。

したがって、$Q$ の座標は

$$ Q=(t-\sin t,\ 1-\cos t) $$

である。

(3) $Q$ の描く曲線と $C$ の $\pi<t<2\pi$ の部分の合同

$Q$ の軌跡は

$$ x=t-\sin t,\qquad y=1-\cos t \qquad (0<t<\pi) $$

で表される。

一方、曲線 $C$ の $\pi<u<2\pi$ の部分は、媒介変数を $u$ と書けば

$$ x=u+\sin u,\qquad y=\cos u-1 \qquad (\pi<u<2\pi) $$

である。

ここで

$$ u=2\pi-t $$

とおくと、$\pi<u<2\pi$ が成り立ち、

$$ \sin u=\sin(2\pi-t)=-\sin t,\qquad \cos u=\cos(2\pi-t)=\cos t $$

であるから、

$$ u+\sin u=2\pi-t-\sin t, \qquad \cos u-1=\cos t-1 $$

となる。

したがって、$C$ の $\pi<u<2\pi$ の部分上の点 $(X,Y)$ を

$$ X=u+\sin u,\qquad Y=\cos u-1 $$

とすると、$Q$ の座標は

$$ x_Q=t-\sin t=2\pi-(u+\sin u)=2\pi-X $$

$$ y_Q=1-\cos t=-(\cos u-1)=-Y $$

と書ける。

すなわち、$Q$ の軌跡は、$C$ の $\pi<u<2\pi$ の部分を点 $(\pi,0)$ を中心として $180^\circ$ 回転した図形である。

$180^\circ$ 回転は合同変換であるから、$Q$ の描く曲線は $C$ の $\pi<t<2\pi$ の部分と合同である。

解説

この問題の要点は、媒介変数表示された曲線に対して

$$ \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} $$

を用いて弧長を求め、その結果を接線方向へそのまま使うことである。

(2) では接ベクトルを単位ベクトルに直してから長さ $l$ を掛けるのが基本処理である。 また (3) では、得られた $Q$ の座標を見てすぐに $t\mapsto 2\pi-t$ を試すのが自然であり、実際に点対称の関係が現れる。

答え

$$ l=4\sin\frac t2 $$

$$ Q=(t-\sin t,\ 1-\cos t) $$

また、$Q$ の描く曲線は、曲線 $C$ の $\pi<t<2\pi$ の部分を点 $(\pi,0)$ を中心として $180^\circ$ 回転したものである。したがって両者は合同である。