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東北大学 1999年理系第4問解説

方針・初手

重複している文字は $O$ が $3$ 個、$A$ が $2$ 個である。したがって、まず全並べ方を重複順列として数える。

（1）は、$O$ 以外の文字を先に並べ、そのすき間に $O$ を入れる方法で数える。

（2）は、「どこかで同じ文字が隣り合う」の余事象、すなわち「$OO$ も $AA$ も現れない」を数えるのが自然である。

解法1

まず、10文字全体の異なる並べ方の総数は

$$ \frac{10!}{3!2!} $$

である。

（1）どの二つの $O$ も隣り合わない確率

$O$ 以外の $7$ 文字

$$ T,\ H,\ K,\ U,\ A,\ A,\ B $$

を並べる。これは $A$ が $2$ 個あるので、その並べ方は

$$ \frac{7!}{2!} $$

通りである。

この $7$ 文字のまわりには、$O$ を入れられる場所が

$$ \boxed{8\text{ か所}} $$

ある。

$$ _ , T , _ , H , _ , K , _ , U , _ , A , _ , A , _ , B , _ $$

どの二つの $O$ も隣り合わないためには、この $8$ か所から異なる $3$ か所を選んで、そこに $O$ を1個ずつ入れればよい。したがって、そのような並べ方は

$$ \frac{7!}{2!}{}_{8}\mathrm{C}_{3} $$

通りである。

よって求める確率は

$$ \frac{\frac{7!}{2!}{}_{8}\mathrm{C}_{3}}{\frac{10!}{3!2!}} = \frac{7! \cdot 56}{2} \cdot \frac{3!2!}{10!} = \frac{56 \cdot 6 \cdot 7!}{10!} = \frac{336}{10 \cdot 9 \cdot 8} = \frac{7}{15} $$

である。

（2）どこかで同じ文字が隣り合う確率

求める確率を直接数えるより、余事象

$$ \text{「$OO$ も $AA$ も現れない」} $$

を数える。

まず、$OO$ が現れない並べ方は（1）より

$$ \frac{7!}{2!}{}_{8}\mathrm{C}_{3} $$

通りである。

この中からさらに $AA$ が隣り合うものを引く。

$AA$ をひとつの塊とみなすと、$O$ 以外は

$$ (AA),\ T,\ H,\ K,\ U,\ B $$

の $6$ 個の異なるものになる。これらの並べ方は

$$ 6! $$

通りである。

そのまわりのすき間は $7$ か所あるので、$OO$ を作らないように $3$ 個の $O$ を入れるには、その $7$ か所から異なる $3$ か所を選べばよい。したがって、

$$ AA \text{ は隣り合うが } OO \text{ は隣り合わない} $$

並べ方は

$$ 6!{}_{7}\mathrm{C}_{3} $$

通りである。

よって、$OO$ も $AA$ も現れない並べ方は

$$ \frac{7!}{2!}{}_{8}\mathrm{C}_{3}-6!{}_{7}\mathrm{C}_{3} $$

通りである。

したがって、求める確率は

$$ 1-\frac{\frac{7!}{2!}{}_{8}\mathrm{C}_{3}-6!{}_{7}\mathrm{C}_{3}}{\frac{10!}{3!2!}} $$

である。これを計算すると

$$ \frac{\frac{7!}{2!}{}_{8}\mathrm{C}_{3}}{\frac{10!}{3!2!}}=\frac{7}{15}, \qquad \frac{6!{}_{7}\mathrm{C}_{3}}{\frac{10!}{3!2!}} =\frac{720 \cdot 35}{302400} =\frac{1}{12} $$

より、

$$ 1-\left(\frac{7}{15}-\frac{1}{12}\right) =1-\left(\frac{28}{60}-\frac{5}{60}\right) =1-\frac{23}{60} =\frac{37}{60} $$

となる。