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東北大学 1999年理系第5問解説

方針・初手

正 $n$ 角形の面積と周の長さの関係式を導くことが第一歩である。円の面積からその半径と周の長さを求め、それが次の正多角形の周の長さと等しいという条件を用いて、正多角形の1辺の長さを決定する。正多角形を合同な二等辺三角形に分割して面積を計算し、面積の漸化式を立てる。極限計算においては、変数を $\frac{\pi}{n} = x$ と置き換えることで、なじみ深い微積分学の極限公式に帰着させる。

解法1

(1)

正 $n-1$ 角形 $P_{n-1}$ と同じ面積をもつ円 $D_{n-1}$ の面積は $a_{n-1}$ である。この円の半径を $r$ とおくと、

$$ \pi r^2 = a_{n-1} $$

より、$r = \sqrt{\frac{a_{n-1}}{\pi}}$ である。したがって、円 $D_{n-1}$ の周の長さ $L$ は、

$$ L = 2\pi r = 2\sqrt{\pi a_{n-1}} $$

となる。条件(ii)より、正 $n$ 角形 $P_n$ の周の長さはこの $L$ と等しい。$P_n$ の1辺の長さを $l$ とすると、$n l = 2\sqrt{\pi a_{n-1}}$ であるから、

$$ l = \frac{2\sqrt{\pi a_{n-1}}}{n} $$

正 $n$ 角形 $P_n$ は、外接円の中心から各頂点に引いた線分によって、合同な $n$ 個の二等辺三角形に分割できる。その1つの二等辺三角形の頂角は $\frac{2\pi}{n}$、底辺の長さは $l$ である。中心から底辺へ下ろした垂線の長さ（高さ）を $h$ とすると、

$$ h = \frac{\frac{l}{2}}{\tan \frac{\pi}{n}} = \frac{l}{2\tan \frac{\pi}{n}} $$

したがって、$P_n$ の面積 $a_n$ は、$n$ 個の二等辺三角形の面積の和であるから、

$$ a_n = n \times \frac{1}{2} l h = \frac{nl^2}{4\tan \frac{\pi}{n}} $$

これに $l = \frac{2\sqrt{\pi a_{n-1}}}{n}$ を代入すると、

$$ a_n = \frac{n}{4\tan \frac{\pi}{n}} \left( \frac{2\sqrt{\pi a_{n-1}}}{n} \right)^2 = \frac{4\pi a_{n-1} n}{4n^2 \tan \frac{\pi}{n}} = \frac{\pi a_{n-1}}{n \tan \frac{\pi}{n}} $$

両辺を $a_n$ で割り（$a_n \neq 0$ であるため）、整理すると、

$$ \frac{a_{n-1}}{a_n} = \frac{n}{\pi} \tan \frac{\pi}{n} $$

(2)

求める極限を $I$ とする。

$$ I = \lim_{n\to\infty} n^2 \left( \frac{a_{n-1}}{a_n} - \frac{n}{\pi} \sin \frac{\pi}{n} \right) $$

(1)の結果を代入し、式を整理する。

$$ I = \lim_{n\to\infty} n^2 \left( \frac{n}{\pi} \tan \frac{\pi}{n} - \frac{n}{\pi} \sin \frac{\pi}{n} \right) = \lim_{n\to\infty} \frac{n^3}{\pi} \left( \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{\cos \frac{\pi}{n}} - \sin \frac{\pi}{n} \right) $$

$$ I = \lim_{n\to\infty} \frac{n^3}{\pi} \sin \frac{\pi}{n} \left( \frac{1 - \cos \frac{\pi}{n}}{\cos \frac{\pi}{n}} \right) $$

ここで、$x = \frac{\pi}{n}$ とおくと、$n \to \infty$ のとき $x \to 0$ であり、$n = \frac{\pi}{x}$ となる。これを用いて極限を $x$ の式に書き換える。

$$ \begin{aligned} I &= \lim_{x\to 0} \frac{\pi^2}{x^3} \sin x \left( \frac{1 - \cos x}{\cos x} \right) \\ &= \lim_{x\to 0} \pi^2 \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \frac{1}{\cos x} \end{aligned} $$

さらに、三角関数の性質から $\frac{1 - \cos x}{x^2}$ を変形する。分母分子に $1 + \cos x$ を掛ける。

$$ \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1 - \cos^2 x}{x^2(1 + \cos x)} = \frac{\sin^2 x}{x^2(1 + \cos x)} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \frac{1}{1 + \cos x} $$

これを極限の式に代入する。

$$ \begin{aligned} I &= \lim_{x\to 0} \pi^2 \left( \frac{\sin x}{x} \right)^3 \frac{1}{1 + \cos x} \frac{1}{\cos x} \\ &= \pi^2 \cdot 1^3 \cdot \frac{1}{1 + 1} \cdot \frac{1}{1} \\ &= \frac{\pi^2}{2} \end{aligned} $$

解説

円と正多角形を交互に介して作られる面積の数列に関する問題である。 (1)は図形的な条件を正確に数式へ翻訳できるかを問うている。正多角形の面積を求める際は、外接円の中心を利用して基本となる二等辺三角形に分割する手法が定石である。ここで角度や長さの計算ミスをしないことが肝要となる。 (2)の極限計算は典型的な三角関数の極限問題である。$n \to \infty$ で $\frac{\pi}{n} \to 0$ となることから、$x = \frac{\pi}{n}$ と置換することで、$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ や $\lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ といった頻出の極限公式を適用しやすい形に持ち込むことができる。