東北大学 2003年 理系 第1問 解説

方針・初手

（1） は $A^2$ の行列式を見ればよい。

（2） は $M=A^2$ とおくと $M^2=E$ となるので，その成分条件を調べ，（1） の結果 $\det M\geqq 0$ と組み合わせて形を絞る。

（3） はまず $BA=-AB$ から $A$ の成分の形を決める。その後 $A^2=-E$ を使って $b,c,d$ を求める。後半は $BA=-AB$ から $BA^n=(-1)^nA^nB$ を導いて整理する。

解法1

(1)

$A^2=\begin{pmatrix}\alpha&\beta\ \gamma&\delta\end{pmatrix}$ であるから，

$$ \alpha\delta-\beta\gamma=\det(A^2) $$

である。行列式の積の性質より，

$$ \det(A^2)=(\det A)^2=(ad-bc)^2\geqq 0 $$

となる。したがって

$$ \alpha\delta-\beta\gamma\geqq 0 $$

である。

(2)

$M=A^2=\begin{pmatrix}\alpha&\beta\ \gamma&\delta\end{pmatrix}$ とおく。仮定 $A^4=E$ より

$$ M^2=E $$

である。これを成分で書くと，

$$ \begin{cases} \alpha^2+\beta\gamma=1,\\ \beta(\alpha+\delta)=0,\\ \gamma(\alpha+\delta)=0,\\ \delta^2+\beta\gamma=1 \end{cases} $$

を得る。

ここで場合分けをする。

(i)

$\alpha+\delta\neq 0$ のとき

上の第2式，第3式より $\beta=\gamma=0$ である。したがって

$$ \alpha^2=1,\qquad \delta^2=1 $$

となる。

一方，（1） より

$$ \det M=\alpha\delta-\beta\gamma=\alpha\delta\geqq 0 $$

であるから，$\alpha\delta=1$ である。よって

$$ (\alpha,\delta)=(1,1)\ \text{または}\ (-1,-1) $$

となり，

$$ M=E\ \text{または}\ M=-E $$

である。

(ii)

$\alpha+\delta=0$ のとき

このとき $\delta=-\alpha$ であるから，

$$ \alpha\delta-\beta\gamma=-\alpha^2-\beta\gamma=-(\alpha^2+\beta\gamma) $$

となる。ところが第1式より $\alpha^2+\beta\gamma=1$ なので，

$$ \alpha\delta-\beta\gamma=-1 $$

となる。これは （1） の $\alpha\delta-\beta\gamma\geqq 0$ に反する。

したがって （ii） は不可能である。

以上より

$$ A^2=M=E\ \text{または}\ A^2=M=-E $$

である。

(3)

まず

$$ B=\begin{pmatrix}0&1\1&0\end{pmatrix} $$

であるから，

$$ BA=\begin{pmatrix}c&d\a&b\end{pmatrix},\qquad AB=\begin{pmatrix}b&a\d&c\end{pmatrix} $$

となる。仮定 $BA=-AB$ より，

$$ \begin{pmatrix}c&d\a&b\end{pmatrix} =================================== -\begin{pmatrix}b&a\d&c\end{pmatrix} $$

であるから，

$$ c=-b,\qquad d=-a $$

を得る。したがって

$$ A=\begin{pmatrix}a&b\-b&-a\end{pmatrix} $$

である。

このとき

$$ A^2 === \begin{pmatrix} a^2-b^2 & ab-ab\ -ab+ab & a^2-b^2 \end{pmatrix} ============= (a^2-b^2)E $$

となる。仮定 $A^2=-E$ より，

$$ a^2-b^2=-1 $$

すなわち

$$ b^2=a^2+1 $$

である。よって

$$ b=\pm\sqrt{a^2+1},\qquad c=\mp\sqrt{a^2+1},\qquad d=-a $$

である。

次に，$BA=-AB$ から帰納法により

$$ BA^n=(-1)^nA^nB\qquad (n\geqq 1) $$

が成り立つ。したがって

$$ A^mBA^n=A^m\bigl(BA^n\bigr)=(-1)^nA^{m+n}B $$

である。

ゆえに

$$ AB=A^mBA^n $$

であるための必要十分条件は

$$ AB=(-1)^nA^{m+n}B $$

すなわち，右から $B$ を掛けて

$$ A=(-1)^nA^{m+n} $$

である。

ここで $A^2=-E$ より

$$ A^3=-A,\qquad A^4=E $$

であるから，$A^k$ は $4$ 周期で巡回する。したがって

• $n$ が偶数のときは $A^{m+n}=A$，すなわち $m+n\equiv 1\pmod 4$
• $n$ が奇数のときは $A^{m+n}=-A$，すなわち $m+n\equiv 3\pmod 4$

が必要十分である。

範囲 $1\leqq m\leqq 3,\ 1\leqq n\leqq 3$ で調べると，

• $n=1$ のとき $m+1\equiv 3\pmod 4$ より $m=2$
• $n=2$ のとき $m+2\equiv 1\pmod 4$ より $m=3$
• $n=3$ のとき $m+3\equiv 3\pmod 4$ より $m\equiv 0\pmod 4$ であり該当なし

となる。

よって求める組は

$$ (m,n)=(2,1),\ (3,2) $$

である。

解説

（1） は $\det(A^2)=(\det A)^2$ を使うだけで終わる。

（2） の本質は，$A^4=E$ から $A^2$ が「2乗して単位行列になる行列」であることに着目し，さらに （1） によってその行列式が負になれないことを使う点にある。これにより，$A^2$ は $E$ か $-E$ に限られる。

（3） では $BA=-AB$ が成分に強い制約を与え，$A$ の形がほぼ決まる。その後は $A^2=-E$ に落として係数条件を得ればよい。後半は反交換関係を冪に拡張して整理するのが最短である。

答え

(1)

$$ \alpha\delta-\beta\gamma=(ad-bc)^2\geqq 0 $$

である。

(2)

$$ A^4=E\ \Longrightarrow\ A^2=E\ \text{または}\ A^2=-E $$

である。

(3)

$$ d=-a,\qquad c=-b,\qquad b^2=a^2+1 $$

したがって

$$ b=\pm\sqrt{a^2+1},\qquad c=\mp\sqrt{a^2+1},\qquad d=-a $$

である。

また，

$$ AB=A^mBA^n $$

となる $(m,n)$ のうち $1\leqq m\leqq 3,\ 1\leqq n\leqq 3$ を満たすものは

$$ (2,1),\ (3,2) $$

である。