名古屋大学 1992年 理系 第2問 解説

方針・初手

変換前の円上の点をパラメータで表し、変換後の図形 $C$ の方程式を求めることから始めます。図形 $C$ が円になることを確認し、その中心の座標と半径を求めたうえで、$x$ 軸との交差条件や両軸への接条件を図形的に処理します。

解法1

変換前の円 $x^2 + (y - a)^2 = 1$ 上の点 $(x, y)$ は、実数 $\theta$ を用いて

$$ \begin{cases} x = \cos \theta \\ y = a + \sin \theta \end{cases} $$

と表すことができます。

この点が行列 $X$ によって点 $(X, Y)$ に移されるとすると、

$$ \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t & 1 \\ -1 & t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \theta \\ a + \sin \theta \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \cos \theta + a + \sin \theta \\ - \cos \theta + t(a + \sin \theta) \end{pmatrix} $$

となります。

$X$ と $Y$ の式から、$\theta$ を含む項をまとめます。

$$ \begin{cases} X - a = t \cos \theta + \sin \theta \\ Y - at = - \cos \theta + t \sin \theta \end{cases} $$

両辺をそれぞれ2乗して足し合わせると、

$$ (X - a)^2 + (Y - at)^2 = (t \cos \theta + \sin \theta)^2 + (- \cos \theta + t \sin \theta)^2 $$

$$ (X - a)^2 + (Y - at)^2 = t^2 \cos^2 \theta + 2t \sin \theta \cos \theta + \sin^2 \theta + \cos^2 \theta - 2t \sin \theta \cos \theta + t^2 \sin^2 \theta $$

$$ (X - a)^2 + (Y - at)^2 = (t^2 + 1)(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) $$

$$ (X - a)^2 + (Y - at)^2 = t^2 + 1 $$

したがって、図形 $C$ は、中心 $(a, at)$、半径 $\sqrt{t^2 + 1}$ の円であることがわかります。

(1)

円 $C$ が $x$ 軸と交わるための条件は、円の中心から $x$ 軸までの距離が半径以下となることです。中心の $y$ 座標は $at$ であるため、

$$ |at| \le \sqrt{t^2 + 1} $$

が成り立ちます。

両辺ともに0以上であるため、両辺を2乗しても同値です。

$$ a^2 t^2 \le t^2 + 1 $$

$$ (a^2 - 1) t^2 \le 1 $$

問題の条件より $a > 1$ であるため、$a^2 - 1 > 0$ となります。両辺を $a^2 - 1$ で割ると、

$$ t^2 \le \frac{1}{a^2 - 1} $$

これを解いて、

$$ - \frac{1}{\sqrt{a^2 - 1}} \le t \le \frac{1}{\sqrt{a^2 - 1}} $$

を得ます。

(2)

円 $C$ が $x$ 軸と接するための条件は、円の中心から $x$ 軸までの距離が半径と等しくなることです。

$$ |at| = \sqrt{t^2 + 1} $$

両辺を2乗して整理すると、

$$ (a^2 - 1) t^2 = 1 \quad \cdots \text{①} $$

となります。

また、円 $C$ が $y$ 軸と接するための条件は、円の中心から $y$ 軸までの距離が半径と等しくなることです。中心の $x$ 座標は $a$ であるため、

$$ |a| = \sqrt{t^2 + 1} $$

両辺を2乗して整理すると、

$$ a^2 = t^2 + 1 \quad \cdots \text{②} $$

となります。

②より $t^2 = a^2 - 1$ となります。これを①に代入すると、

$$ (a^2 - 1)(a^2 - 1) = 1 $$

$$ (a^2 - 1)^2 = 1 $$

$$ a^2 - 1 = \pm 1 $$

$$ a^2 = 2, 0 $$

$a > 1$ より $a^2 > 1$ であるため、$a^2 = 2$ となります。すなわち $a = \sqrt{2}$ です。

このとき、②より $t^2 = 2 - 1 = 1$ となるため、$t = \pm 1$ となります。

よって、求める値は $a = \sqrt{2}, \ t = \pm 1$ です。

解法2

変換の逆行列を用いて、図形 $C$ の方程式を直接求め、交点の条件を2次方程式の判別式に帰着させる方法です。

行列 $X = \begin{pmatrix} t & 1 \\ -1 & t \end{pmatrix}$ の行列式は $t^2 + 1 \neq 0$ であるため、逆行列を持ちます。 移る前の点を $(x, y)$、移った後の点を $(X, Y)$ とすると、

$$ \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t & 1 \\ -1 & t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

より、

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{t^2 + 1} \begin{pmatrix} t & -1 \\ 1 & t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} $$

となります。これを成分ごとに書くと、

$$ \begin{cases} x = \frac{tX - Y}{t^2 + 1} \\ y = \frac{X + tY}{t^2 + 1} \end{cases} $$

です。

点 $(x, y)$ は円 $x^2 + (y - a)^2 = 1$ 上にあるため、これを代入します。

$$ \left( \frac{tX - Y}{t^2 + 1} \right)^2 + \left( \frac{X + tY}{t^2 + 1} - a \right)^2 = 1 $$

両辺に $(t^2 + 1)^2$ を掛けます。

$$ (tX - Y)^2 + \{X + tY - a(t^2 + 1)\}^2 = (t^2 + 1)^2 $$

$$ t^2 X^2 - 2tXY + Y^2 + X^2 + 2X\{tY - a(t^2 + 1)\} + \{tY - a(t^2 + 1)\}^2 = (t^2 + 1)^2 $$

$$ (t^2 + 1)X^2 - 2tXY + Y^2 + 2tXY - 2a(t^2 + 1)X + t^2 Y^2 - 2at(t^2 + 1)Y + a^2(t^2 + 1)^2 = (t^2 + 1)^2 $$

$$ (t^2 + 1)X^2 + (t^2 + 1)Y^2 - 2a(t^2 + 1)X - 2at(t^2 + 1)Y + a^2(t^2 + 1)^2 = (t^2 + 1)^2 $$

両辺を $t^2 + 1 > 0$ で割ります。

$$ X^2 + Y^2 - 2aX - 2atY + a^2(t^2 + 1) = t^2 + 1 $$

$$ (X - a)^2 - a^2 + (Y - at)^2 - a^2 t^2 + a^2 t^2 + a^2 = t^2 + 1 $$

$$ (X - a)^2 + (Y - at)^2 = t^2 + 1 $$

これが図形 $C$ の方程式です。文字を $(x, y)$ に戻すと、円 $C$ は

$$ (x - a)^2 + (y - at)^2 = t^2 + 1 $$

となります。

(1)

円 $C$ が $x$ 軸（直線 $y = 0$）と交わる条件は、円 $C$ の方程式に $y = 0$ を代入して得られる $x$ についての2次方程式が、実数解を持つことです。

$$ (x - a)^2 + (-at)^2 = t^2 + 1 $$

$$ x^2 - 2ax + a^2 + a^2 t^2 - t^2 - 1 = 0 $$

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D \ge 0$ が条件となります。

$$ \frac{D}{4} = (-a)^2 - (a^2 + a^2 t^2 - t^2 - 1) \ge 0 $$

$$ a^2 - a^2 - a^2 t^2 + t^2 + 1 \ge 0 $$

$$ -(a^2 - 1)t^2 + 1 \ge 0 $$

$$ (a^2 - 1)t^2 \le 1 $$

$a > 1$ より $a^2 - 1 > 0$ であるため、

$$ t^2 \le \frac{1}{a^2 - 1} $$

$$ - \frac{1}{\sqrt{a^2 - 1}} \le t \le \frac{1}{\sqrt{a^2 - 1}} $$

となります。

(2)

円 $C$ が $x$ 軸と接する条件は、(1) で考えた2次方程式が重解を持つこと、すなわち判別式 $D = 0$ となることです。

$$ (a^2 - 1)t^2 = 1 \quad \cdots \text{③} $$

同様に、円 $C$ が $y$ 軸（直線 $x = 0$）と接する条件は、円 $C$ の方程式に $x = 0$ を代入して得られる $y$ についての2次方程式が重解を持つことです。

$$ (-a)^2 + (y - at)^2 = t^2 + 1 $$

$$ y^2 - 2aty + a^2 t^2 + a^2 - t^2 - 1 = 0 $$

この2次方程式の判別式を $D'$ とすると、$D' = 0$ が条件となります。

$$ \frac{D'}{4} = (-at)^2 - (a^2 t^2 + a^2 - t^2 - 1) = 0 $$

$$ a^2 t^2 - a^2 t^2 - a^2 + t^2 + 1 = 0 $$

$$ a^2 = t^2 + 1 \quad \cdots \text{④} $$

④より $t^2 = a^2 - 1$ となります。これを③に代入して、

$$ (a^2 - 1)^2 = 1 $$

$$ a^2 - 1 = \pm 1 $$

$$ a^2 = 2, 0 $$

$a > 1$ より $a^2 = 2$ となり、$a = \sqrt{2}$ を得ます。

このとき、④より $t^2 = 2 - 1 = 1$ となり、$t = \pm 1$ を得ます。

よって、求める値は $a = \sqrt{2}, \ t = \pm 1$ です。

解説

本問は1次変換によって円がどのように移るかを考察する問題です。 行列 $X$ は相似変換を表す行列であり、原点を中心とした回転移動と $\sqrt{t^2+1}$ 倍の拡大を組み合わせた変換であることが分かります。この性質に気づけば、移った後の図形 $C$ が、中心を同変換で移した点とし、半径を元の $\sqrt{t^2+1}$ 倍とした円になることが直感的に予想できます。 解答ではその性質を自明とせず、パラメータ表示や逆行列を用いて正確に軌跡を導出しています。(1)の不等式処理や(2)の連立方程式では、$a>1$ の条件を忘れずに用いて同値変形を行うことが重要です。

答え

(1) $$ - \frac{1}{\sqrt{a^2 - 1}} \le t \le \frac{1}{\sqrt{a^2 - 1}} $$

(2) $$ a = \sqrt{2}, \ t = \pm 1 $$