東北大学 2004年 理系 第5問 解説

方針・初手

$|z|=1$ であるから、$z=e^{i\theta}$ とおくのが自然である。すると

$$ z^k=e^{ik\theta}=\cos k\theta+i\sin k\theta $$

と表せるので、実部や絶対値の条件を三角関数の条件に落とせる。

また、$|w|=1$ のとき

$$ |w+1|^2=(w+1)(\overline{w}+1)=2+w+\overline{w}=2+2\operatorname{Re}(w) $$

であるから、$|w+1|=1$ は $\operatorname{Re}(w)=-\dfrac12$ と同値になる。この形を (2), (3) で用いる。

解法1

(1)

$z=e^{i\theta}$ とおくと、

$$ z^3-z=e^{3i\theta}-e^{i\theta} $$

であるから、その実部は

$$ \operatorname{Re}(z^3-z)=\cos 3\theta-\cos\theta $$

である。したがって条件は

$$ \cos 3\theta-\cos\theta=0 $$

となる。

ここで、$\cos A-\cos B=-2\sin\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}$ を用いると、

$$ \cos 3\theta-\cos\theta=-2\sin 2\theta\sin\theta $$

であるから、

$$ \sin 2\theta\sin\theta=0 $$

となる。よって

$$ \sin 2\theta=0 $$

すなわち

$$ \theta=\frac{k\pi}{2}\qquad (k\in\mathbb{Z}) $$

である。

したがって

$$ z=e^{ik\pi/2} $$

より、

$$ z=1,\ i,\ -1,\ -i $$

である。

(2)

条件 $|z|=1$ より

$$ |z^5+z|=|z||z^4+1|=|z^4+1| $$

である。よって $w=z^4$ とおけば、$|w|=1$ かつ

$$ |w+1|=1 $$

となる。

両辺を2乗すると、

$$ |w+1|^2=2+2\operatorname{Re}(w)=1 $$

より

$$ \operatorname{Re}(w)=-\frac12 $$

である。$|w|=1$ で実部が $-\dfrac12$ である複素数は

$$ w=e^{2\pi i/3},\ e^{-2\pi i/3} $$

の2つである。

したがって

$$ z^4=e^{2\pi i/3} \qquad \text{または} \qquad z^4=e^{-2\pi i/3} $$

である。

前者の解は

$$ z=e^{i(\pi/6+k\pi/2)}\qquad (k=0,1,2,3) $$

後者の解は

$$ z=e^{i(-\pi/6+k\pi/2)}\qquad (k=0,1,2,3) $$

である。よって求める $z$ は

$$ e^{i\pi/6},\ e^{i\pi/3},\ e^{i2\pi/3},\ e^{i5\pi/6},\ e^{i7\pi/6},\ e^{i4\pi/3},\ e^{i5\pi/3},\ e^{i11\pi/6} $$

の8個である。

(3)

(2) と同様に、$w=z^n$ とおくと $|w|=1$ であり、

$$ |z^n+1|=1 $$

は

$$ |w+1|=1 $$

と同値である。したがって

$$ \operatorname{Re}(w)=-\frac12 $$

より

$$ w=e^{2\pi i/3}\quad \text{または}\quad w=e^{-2\pi i/3} $$

である。

よって、条件を満たす $z$ は

$$ z^n=e^{2\pi i/3} \qquad \text{または} \qquad z^n=e^{-2\pi i/3} $$

を満たす複素数全体である。

ここで $\omega=e^{2\pi i/3}$ とおくと、これらは

$$ z^n-\omega=0,\qquad z^n-\omega^2=0 $$

の解全体である。なお、$\omega\neq\omega^2$ であるから、両者の解は重ならない。

$x^n-a=0$ の $n$ 個の解の積は、ヴィエタの公式より

$$ (-1)^{n+1}a $$

である。したがって

$$ z^n=\omega $$

の解全体の積は

$$ (-1)^{n+1}\omega $$

であり、

$$ z^n=\omega^2 $$

の解全体の積は

$$ (-1)^{n+1}\omega^2 $$

である。

よって、条件を満たすすべての $z$ の積は

$$ \bigl((-1)^{n+1}\omega\bigr)\bigl((-1)^{n+1}\omega^2\bigr) =\omega^3=1 $$

である。

解説

この問題の要点は、$|z|=1$ という条件から $z=e^{i\theta}$ とおけること、および $|w+1|=1$ を実部条件

$$ \operatorname{Re}(w)=-\frac12 $$

に直すことである。

(2), (3) は本質的に同じ構造であり、まず $z^4$ や $z^n$ を1つの文字 $w$ で置き、$|w|=1$ のもとで $|w+1|=1$ を解くと見通しがよい。最後の積は、各方程式の解の積をヴィエタの公式で処理するのが最短である。

答え

(1)

$$ z=1,\ i,\ -1,\ -i $$

(2)

$$ z=e^{i\pi/6},\ e^{i\pi/3},\ e^{i2\pi/3},\ e^{i5\pi/6},\ e^{i7\pi/6},\ e^{i4\pi/3},\ e^{i5\pi/3},\ e^{i11\pi/6} $$

(3)

$$ 1 $$